内容发布更新时间 : 2024/5/17 12:57:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 函
§ 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:
数、极限和连续
?f(x)x?D1 y??g(x)x?D2?-1
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f(y) y=f (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f(x), D(f)=Y, Z(f)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x , (n为实数) 3.指数函数： y=a , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
xn
-1
-1
-1
-1
y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§ 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1.
数列的极限:
limyn??n?A
称数列?yn?以常数A为极限; 或称数列定理: 若
?yn?收敛于A.
n?yn?的极限存在??y?必定有界.
2.函数的极限： ⑴当⑵当
x??时，f(x)的极限：
x?x0时，
x?x0x?x0f(x)的极限：
左极限： 右极限：
lim?f(x)?A lim?f(x)?A
⑶函数极限存的充要条件： 定理：
x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A
x?x0x?x0㈡ 无穷大量和无穷小量 1.无穷大量：limf(x)???
f(x)为无穷大量。
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指： 2.无穷小量：
limf(x)?0
f(x)为无穷小量。
1???,(f(x)?0) f(x) 称在该变化过程中
3.无穷大量与无穷小量的关系： 定理：limf(x)?0?lim4.无穷小量的比较：lim? ⑴若lim?0,lim??0
??0,则称β是比α较高阶的无穷小量； ? ⑵若lim??c （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ? ⑶若lim??1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ? ⑷若lim???,则称β是比α较低阶的无穷小量。 ?定理：若：1?~?1，?2~?2；
?1?2 则：lim㈢两面夹定理
1．
设：
?lim?1?2
数列极限存在的判定准则：
yn?xn?zn （n=1、2、3…）
且：
limyn?limzn?a
n??n??n?? 则： lim2．
xn?a
函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：
x?x0x?x0limg(x)?limh(x)?A
x?x0limf(x)?A
㈣极限的运算规则
若：limu(x) 则：①②
?A,limv(x)?B
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
u(x)limu(x)A?? v(x)limv(x)B③lim(limv(x)?0)
[ 推论：①limu1(x)?u2(x)???un(x)]
②lim[c?u(x)]?③lim[c?limu(x)
u(x)]n?[limu(x)]n
㈤两个重要极限
sin?(x)sinx?1 ?1 或 lim 1．lim?(x)?0x?0?(x)x1x 2．lim(1?)?e lim(1?x)x?e
x?0x??x§ 连续
一、 主要内容
㈠ 函数的连续性 1.
函数在x0处连续：
1f(x)在x0的邻域内有定义，
1o 2o
?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
?x?0x?x0limf(x)?f(x0)
x?x0 左连续：
lim?f(x)?f(x0) lim?f(x)?f(x0)
右连续：
x?x02.
函数在x0处连续的必要条件：
定理：3.
f(x)在x0处连续?f(x)在x0处极限存在
函数在x0处连续的充要条件：
x?x0 定理：4.
limf(x)?f(x0)?lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)
x?x0x?x0函数在
?a,b?上连续：
f(x)在?a,b?上每一点都连续。
在端点
a和b连续是指：
x?a?limf(x)?f(a) 左端点右连续；
x?b?limf(x)?f(b) 右端点左连续。
a+ 0 b- x 5. 若
函数的间断点：
f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况： 1o 2o3o
f(x)在x0处无定义；
x?x0limf(x)不存在；
0limf(x)存在， f(x)在x0处有定义，且x?x 但
x?x0limf(x)?f(x0)。
两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点：
x?x0lim?f(x)和lim?f(x)都存在。
x?x0可去间断点：
x?x0limf(x)存在，但
x?x0limf(x)?f(x0)，或f(x)在x0处无定义。
2o第二类间断点： 特点：
x?x0lim?f(x)和lim?f(x)至少有一个为∞，
x?x0 或
x?x0limf(x)振荡不存在。
lim?f(x)和lim?f(x)至少有一个为∞
x?x0无穷间断点：
x?x0㈡函数在x0处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：
设
x?x0limf(x)?f(x0)，limg(x)?g(x0)
x?x0x?x0 1o
lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
2o
x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
3o
f(x)f(x0)??lim?limg(x)?0?? x?x0g(x)x?xg(x0)?0?2. 复合函数的连续性：
则：
x?x0limf[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]
x?x03. 反函数的连续性：
㈢函数在[a,b]上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。