内容发布更新时间 : 2024/5/17 14:10:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
n个事件 （1） （2）
，如果满足下列条件：
；
，
则称其为完备事件组。
显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律率的古典定义
定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发
生的概率为。
概率的基本性质与运算法则 性质≤P(A)≤1
特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若
，则P(B-A)=P(B)-P(A)
性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有
条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率
定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称
类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为 概率的乘法公式
乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有 事件的独立性
一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。
定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型 在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为
一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量 1.随机变量
推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果称X为定义在Ω上的随机变量，简记作
2.离散型随机变量
。
，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则
定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。 （二）分布函数与概率分布 1.分布函数
定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数布函数。
分布函数F(x)有以下性质： （2）F(x)是x的不减函数，即对任意
称为随机变量X的分
（4）F(x)是右连续的，即
（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a) 2.离散型随机变量的概率分布
则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。 离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示： 3.分布函数与概率分布之间的关系
若X为离散型随机变量，则随机变量的数字特征 1.数学期望
（1）数学期望的概念
定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为
。
若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即
（2）数学期望的性质 ①若C为常数，则E(C)=C ②若a为常数，则E(aX)=aE(X) ③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b
④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2.方差
（1）方差的概念
定义：设X为随机变量，如果
方差的算术平方根称为均方差或标准差， 对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为
，
存在，则称
为X的方差，记作DX，即
则X的方差为 （2）方差的性质
①若C为常数，则D(C)=0 ②若a为常数，则
③若b为常数，则D(X+b)=D(X) ④基本公式
由a ?N(1)b?logN(2)a（1）对数的性质：
b
①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。 ①l ogMN?logM?logNM，N?R??aaa?（2）对数的运算法则：
??②logaM? ?logM?logNM，N?RaaN??③l ogN?nlogNN?Raan④log?logNNR? aNa??n???1n???3、对数换底公式：
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）logb?am1 或logb·loga?1ablogab?mlogab n
（2）loganboglog（3）l nb?aba（4）logana?mnm n三角函数的单调区间：
????2k???(k?Z)， y?sinx的递增区间是?2k??，22??递减区间是?2k?????2，2k??3??(k?Z)； 2??2k??(k?Z)， y?cosx的递增区间是?2k???，递减区间是
?2k?，2k????(k?Z)，
????y?tanx的递增区间是?k??，k???(k?Z)，
22??1、数列极限的存在准则
定理（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：
（1）， （2）， 则
定理 若数列{xn}单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理。
（1）
（2） ，（3）当时，
3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有4、函数极限的定理
。
定理 （惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理 （两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：
（1），（2），则有。
推论 ：（1）
（2）
5、无穷小量的基本性质
，（3）
性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则
。
7、重要极限Ⅰ
8、 重要极限Ⅱ是指下面的公式：
9、 （2） （3）
（4）
10、函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 定理 （四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则
（1）f（x）±g（x） 在x0处连续 ，（2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则（x）]在x= x0处连续。
定理 （反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理 （有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理 （最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。
定理 （介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C
11、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理 （有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
在x0处连续。
定理 （复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g