内容发布更新时间 : 2024/5/4 5:24:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题复习 解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：
A＋B
(1)在△ABC中：sin(A＋B)＝ ，sin＝ (2)正弦定理：
2
(3)余弦定理： _____________________________________________________________________
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(4)面积公式：S＝aha＝absin C＝r(a＋b＋c)(其中r为三角形内切圆半径)．
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2．平面向量的数量积
a·b＝ ．特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝a2.当θ为锐角时，a·b>0，且a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件．
3．b在a上的射影为|b|cos_θ． 4．平面向量坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b＝ ；(2)|a|＝ ，a2＝|a|2＝ ； (3)a∥b?a＝λb? ＝0；(4)a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|? ＝0.
(5)若a、b的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC中向量常用结论 →→→→→→→→→
(1)PA＋PB＋PC＝0?P为△ABC的 ； (2)PA·PB＝PB·PC＝PC·PA?P为△ABC的 ；
→→?ABAC?→→→＋(3)向量λ?(λ≠0)所在直线过△ABC的 ；(4)|PA|＝|PB|＝|PC|?P为△ABC的 ． ?→→?|AB||AC|?
考点一 解三角形
ππ
例 1－1设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积
34
33
为( )A．1＋ B.3＋1 C．1－ D.3－1
33
例 1－2△ABC中，已知3b＝23asin B，角A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
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变式训练【1－1】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝，且b 2 b＝( ) A．3 B．22 C．2 D.3 【1－2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【1－3】在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝33，则BC＝( ) A．5 B.13或37 C.37 D.13 例 1－4已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)， →→→ 且m·n＝ sin 2C. (1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长． ac 变式训练 【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝. 3cos Asin C (1)求A的大小； (2)若a＝6，求b＋c的取值范围． 【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m＝(a，cos B)，n＝(cos A，－b)，a≠b，已知m⊥n.(1)求sin A＋sin B的取值范围；(2)若abx＝a＋b，试确定实数x的取值范围． 1 例 1－5如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值． 变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速 123 直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝. 135 (1)求索道AB的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 考点二 平面向量 例 2－1已知正三角形ABC的顶点A(3，1)，B(33，1)，顶点C在第一象限，若点M(x，y)在△ABC的内部 →→ 或边界，则z＝OA·OM取最大值时，3x2＋y2有( ) A．定值52 B．定值82 C．最小值52 D．最小值50 →→→→→→ 例 2－2如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________． 例 2－3如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点 →→→→ M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则mn的最大值为( ) 1 A. B．1 C．2 D．3 2 变式训练【2－1】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a·b＝(a1，a2)·(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m1π→→2，?，n＝?，0?，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足OQ＝m·＝?OP＋?2??3? n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值为________． 2 →→→→→ 【2－2】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO＝xCA＋yCB且x＋y＝1，函数f(m)＝|CA－mCB|的最 3→ 小值为，则|CO|的最小值为______． 2 易错题在△ABC中，sin A＋cos A＝2 ，AC＝2，AB＝3，求tan A的值和△ABC的面积． 2 练习题 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 →→ 3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝( ) A.3 B.7 C．22 D.23 a 4．锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是( ) b A．(1，2) B．(1，3) C．(2，2) D．(2，3) 5．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( ) 3366 B. C. D. 3636 6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( ) A. A．240(3－1) m B．180(2－1) m C．120(3－1) m D．30(3＋1) m ???x，x≥y，?y，x≥y，?7．记max{x，y}＝min{x，y}＝?设a，b为平面向量，则( ) ?y，x A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 →→→ 8．如图为函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象，B，C分别为图象的最高点和最低点，若AB·BC＝|AB|2，则ω＝( ) ππππA. B. C. D. 34612 3tan A 9．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B－bcos A＝c，则的值为______． 5tan B 3