内容发布更新时间 : 2024/12/27 6:52:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章 平面问题的极坐标解答

【4-8】 实心圆盘在??r的周界上受有均布压力q的作用，试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即

???????????2??A??2?B(3?2ln?)?2C?? (a) ?????0??A?B(1?2ln?)?2C首先，在圆盘的周界（??r）上，有边界条件?????=r??q，由此得

???A?2?B(1?2ln?)?2C?-q (b)

其次，在圆盘的圆心，当??0时，式（a）中??，??的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当?=0时，必须有A?B?0。

把上述条件代入式（b）中，得

C??q/2。

所以，得应力的解答为

??????-q ????0。

【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数。 Φ?ρ2(Bsin2υ?Cυ)求解应力分量（图4-15）

【解答】（1）相容条件：

将应力函数?代入相容方程??4?0，显然满足。

（2）由?求应力分量表达式

???=-2Bsin2??2C???????2Bsin2??2C?????????2Bcos2??C

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（3）考察边界条件：注意本题有两个?面，即???上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有

?2，分别为??面。在??面

(??)?0, 得C?0； ????2qB?? 得。 (???)?-q,????22将各系数代入应力分量表达式，得

????qsin2????????qsin2? ???????qcos2?【4-14】 设有内半径为r而外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改

变量，并求圆筒厚度的改变量。

【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B=0。

内外的应力边界条件要求

(???)??r?0,(??)??r??q,(???)??R?0;(??)??R?0

由表达式可见，前两个关于???的条件是满足的，而后两个条件要求

?A?2C??q,??r2 ??A?2C?0。??R2由上式解得

qr2R2A??2,2(R-r)qr2C?。 (a) 222(R-r)把A，B，C值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。

?qr2R2?u??1??????1?????Icos??Ksin?, (b) 22????E(R?r)? (c) u??H??Isin??Kcos??0。式（c）中的?，?取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零

H?I?K?0

所以，轴对称问题的径向位移式（b）为

?qr2R2?u??1??????1????， 22????E(R?r)?

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而圆筒是属于平面应变问题，故上式中E?E?，代替，则有 ??21??1?????21?R??1???u??q?E?1??2此时内径改变为

???2??1???1????， 2?R??1?2?r?????2???21?R?1?r2????qr1???R2?r21??1????????ur?q???2?, 22E1????R?rErR???1??221???r???外径改变为

???21?R??1???uR?q?ER1??2圆环厚度的改变为

???2??1?R2?qr1??1??2rR?? ??。E?R2?R2?r2?2?1??r???qr1??2?R?r??uR?ur??? ??。E?R?r1???【4-16】在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为?x??y?0，?xy?q，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。

【解答】（1）求出两个主应力，即

???1??x??y??x??y?2 =??????xy??q。?2?2?2?原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如下图

所示。根据教材中的式（4-18）

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