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号证赛参
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题_答__勿__请名内姓线 _封__密_______
__校学
总分
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初一组）
（时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1. 已知 n 个数 x1, x2 , ?, xn , 每个数只能取 0, 1, ?1中的一个. 若
x 2015 ??x2015 2015
1 ??x2 ????xn ??2016 , 则 x1 2 ????xn
的值为 .
2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天
的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月
份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是
.
3. 在 9??9 的格子纸上, 1?1 小方格的顶点叫做格点. 如右图,
三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有
个“好点”.
4. 设正整数 x, y 满足 xy ??9x ??9y ??20, 则
x2
??y2
? .
5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分
之二, 两队所用的天数为 A; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C. 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要
天. 6. 已知 x ??y ??z ??5 ,
1 ??1 ??1
??5 , xyz ??1, 则 x2 ??y2 ??z2 ? x y z
.
7. 关于 x, y 的方程组
????1
x ??y ??a ??2 ??| x | ? y ? 1
只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为
.
8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成一个 2??2?1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以粘出
种不同的长方体
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.
10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8
个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45??, 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45??. 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿 到了自己的名片?
11. 两张 8 ?12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如
右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？
3 3 2 1 n12. 证明: 对任何非零自然数 n, ??n??n ??1都是整数, 并且
用 3 除余 2. 2 2
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 如右图, ABCD 是正方形, F 是其两条对角线的交点, E 在
BC 边上, BE : EC ??1: 2 , DE 与对角线 AC 的交点为 G, 三
角形 DFG 的面积等于 2. 求正方形 ABCD 的面积.
14. 排成一行的学生, 从左到右 1 至 3 报数, 最后一个人报 2. 从右到左 1 至 m 报数, 最后一个人报 1, 这里 m 与 3 互质. 现凡报过 1 的学生出列, 其余原 62 名, 其中只有 21 对学生原来相邻. 问原来有多少名学生？ 地不动, 共留下 m 的值是多少？
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案
（初一组） 一
、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 288 答案 2016 25:1 6 12200 30 15 ?1 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 【答案】135??, 45??
?
10. 【答案】1260
11. 【答案】54
12. 【证明】略
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 【答案】40
14. 【答案】125, 4
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