内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:23:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

将杆的外力P或轴力N代入式（2-3-2）即可计算出杆的伸长（缩短）?l。 式（2-3-2）中的EA称为杆的抗拉（压）刚度，显然对于长度l相等、轴力N相同的受．．．．．．．拉（压）杆，其抗拉（压）刚度EA越大，则所发生的伸长（缩短）变形?l越小。有时我们还把式（2-3-2）简写为?l?PEA，其中的C?称为杆的相对刚度或刚度系数，它表示．．．．．．．．Cl杆在单位荷载（即P＝1）作用下的伸长（或缩短）变形。

若将式（2-3-2）改写为

?l1NN?l?，并以轴向应力??及轴向线应变??代入，lEAAl则可得出胡定律的另一表达式为

???E （2-3-3）

故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超过材料的比例极限（即正应力?与线应变?成

正比的最高限应力）时，应力与应变成正比。

3.3 横向变形系数

实验结果还表明，当受拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变??与轴向线应变?之比的绝对值为一常数，即

???? （d） ?通常把?称为横向变形系数或泊松（S.D.Poisson）比。显然，?是一无量纲的量，其数．．．．．．．．．值也随材料而异，需要通过试验测定。考虑到??与?的正负号恒相反，故有 ?????? （2-3-4）

弹性模量E和泊松比?都是表示材料弹性性质的常数。在表2-1中给出了一些常用材料的E和?的约值。

例题2-6：用低碳钢试件作拉伸试验。当拉力达到20kN时，试件中间部分A、B两点间距离由50mm变为50.01mm（图2-11）。试求该试件的相对伸长、在试件中产生的最大正应力和最大剪应力。已知低碳钢的E＝2.1×105MPa。

AB图2-11 例题2-6图解：

在拉力P＝20kN时，试件上A、B两点间一段的绝对伸长为 ?l＝50.1－50＝0.01mm 相对伸长为

???l0.01??0.0002 l50轴向拉伸时，最大正应力发生在试件的横截面上，将E和?代入公式??E?可得

?max?E??2.1?105?0.0002?42MPa

轴向拉伸时，最大剪应力发生在试件中?＝45°的斜截面上，其值等于最大正应力的一

半，即

?max??max2?42?21MPa 2牌号 Q235 35，45号 16Mn 40CrNiMoA 45MnSiV LY12 C30～C45 （顺纹） （横纹） 石灰岩类 红、青砖瓦 工业P型橡胶板 E（GPa）① 200～210 205～209 200 210 220 60～162 150～180 72 100～110 380 18～38 9～12 0.5～1.0 6～9 2.7～3.5 0.008 表2-1 弹性模量与横向变形系数的约值 材料名称 低碳钢 中碳钢 低合金钢 合金热强钢 合金预应力钢筋 灰口铸铁 球墨铸铁 铝合金 铜合金 硬质合金 混凝土 木材 木材 岩石 砖瓦 橡胶 ? 0.24～0.28 0.26～0.30 0.25～0.30 0.28～0.32 0.23～0.25 0.23～0.27 0.24～0.27 0.33 0.31～0.36 0.25～0.28 0.16～0.20 0.16～0.22 0.14～0.21 0.47～0.50 ①GPa代表吉帕，G为109，即1GPa＝109Pa

例题2-7 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱，由下下I、II两段组成。其各段的长度、横截面尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试求砖柱顶面的位移。

解：

假设砖柱的基础没有沉陷，则砖柱顶面A下降的位移等于全柱的缩短?l。由于柱上、下两段的截面尺寸和轴力都不相等，故应用公式（2-3-2）分段计算，即

?l??l1??l2?N1l1N2l2?EA1EA2(?50?103)(3)(?150?103)(4) ??562562(0.03?10?10)(0.25)(0.03?10?10)(0.37)??0.00233m??2.33mm（向下）PAbN1d=34mml1=APN2BP1.15mⅠ3mBCl2=1mP??B2BPcB1B2EB?B1ⅡC4m=170mmB3?0.25m0.37mB3

例题2-8 在图2-3所示的结构中，杆AB为钢杆，横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。

解：

（1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表示AB及BC二杆的内力（图2-3b）。运用平衡方程，

由?Y?0，可得

图2-12 例题2-7图图2-13 例题2-8图P40??80kN（拉力） o1sin302由?X?0，可得 N1?N2＝－N1cos30°＝－69.3kN（压力） （2）根据式（2-3-2）求各杆的变形

N1l1(80?103)(1.15)?l1???0.00048mE1A1(2.1?105?106)?(34?10?3)2

4 ?0.48mmN2l2(?69.3?103)(1)?l2????0.00024m56?32 E2A2(0.1?10?10)(170?10) ??0.24mm（3）由变形的几何条件求点B的位移：

根据结构的实际组成情况，AB、BC二杆在变形后仍应连接在一起，若杆AB在变形后使点B移到点B1，杆BC变形后使点B移到点B2，则在二杆变形后仍能保持在点B连接的几何条件应是：先以点A为圆心，AB1为半径画一圆弧，再以点C为圆心、CB2为半径画一圆弧，这两圆弧的交点即为点B位移后的位置。由于杆的变形都很小，根据小变形假定，可近似地用垂直线来代替圆弧，即可自点B1作AB1的垂直线，自点B2作CB2的垂直线，并认为它们的交点B3即为点B位移后的位置。将表示此变形几何关系的图形放大如图2-13c

所示，就容易看到

水平位移为BB2＝0.24mm 铅直位移为

B1E?l2??l1cos30ooB2B3?B2E?EB3?BB1sin????l1sin30?tg?tg30o

0.24?0.48?0.866 ?0.48?0.5??0.240?1.136?1.376mm0.577____________________________第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性质

4.1 概述

我们研究了轴向拉（压）杆中的内力、应力、变形，知道杆截面上任一点的应力与截面上的内力大小和截面尺寸大小都有关系，且杆中产生的最大工作应力必须有个限度，否则杆就会发生破坏。

不同的材料有着不同的应力限度，这就需要研究各种材料本身固有的力学性质（或机械．．．．．．性质）。材料的力学性质不但是为构件进行强度计算、刚度计算或选择恰当材料的重要依据，．．

也是指导研制新材料和制定加工工艺技术指标的重要依据。在工程实际中，通常是采用试验的方法来研究材料的力学性质。

在各种工程建设中，常用的建筑材料有金属（主要是钢铁）、木材和圬工材料（主要是砖、石和混凝土）等。这些材料用于工程中后，由于结构物所处的环境可能是常温、高温或低温下；它们所承受的荷载可能是静荷载、动荷载或交变荷载等等；它们所产生的变形可能是拉伸、压缩、剪切、扭转和弯曲等简单变形，也可能是兼有几种简单变形的组合变形。因此必须根据各种不同的情况分别进行试验，才能确定各种材料在不同情况下的力学性质。在此，我们只着重介绍材料在常温、静荷载条件下承受拉伸或压缩时的试验，但将对材料从开．．．．．．始受力到最后破坏的整个过程中所表现的力学性质，作比较详细的叙述。

为了进行材料的力学试验，至少要用到二类试验设备。 第一类是在试件上加力的试验机，例如拉力试验机、压力试验机、扭转试验机和可作拉．．．伸、压缩、剪切、弯曲等试验的万能试验机。试验机所能施加的力可从几十牛顿到几兆牛顿甚至几百兆牛顿。

第二类是量测试件变形的仪器。一般试验时用的有杠杆式引伸仪、镜式引伸仪、千分表．．等，其量测的准确度可达的准确度可达

1～1毫米以上；进行精密测量的有电阻应变仪，其量测1000100001以上。材料力学试验机、量测仪器等的构造原理和使用方法，可参看1000000专门介绍材料力学试验的书籍。

许多材料在拉伸试验时，能较充分地显示出它们的力学性质，故拉伸试验是一种被广泛采用的基本试验。通常采用两类典型材料，以低碳钢为代表的塑性材料和以铸铁为代表的脆性材料。

4.2 钢材的拉伸试验

根据国家颁布的测试规范，在做拉伸试验时，应将材料做成标准试件，使其几何形状和．．．．受力条件都能符合轴向拉伸的要求。图2-14表示一般金属材料试件的形式。在试验以前，要在试件中部的等截面直杆部分用与试件轴线垂直的二细线（或圆环线）标出一工作段，并．．．称其长度为标距．．l。为便于比较不同精细试件的工作段在拉断后的变形程度，通常将圆截面

标准试件的标距l与横截面直径d的比例规定为

l＝10d或l＝5d

将矩形截面标准试件的标距l与横截面面积A的比例规定为

l?11.3A 或 l?5.65A AbA图2-14 试件

做轴向拉伸试验时，首先应将试件两端牢牢地夹在试验机的上、下夹头中（图2-15），然后再开动试验机给试件施加拉力，使其发生伸长变形，直至最后拉断。在试验过程中，拉力P的大小可由试验机上示力盘的指针指示出来，而试件标距l的总伸长?l的大小则可用变形仪表量测出来。根据观测到的这些试验数据，即可绘出整个试验过程中试件工作段的伸长?l与所受轴向拉力P之间的关系曲线。习惯上把这种曲线图称为试件的拉伸图。图2-16表示的即为低碳钢试件的拉伸图。试件在拉伸过程的每一阶段中的伸长变形情况如图中I、II、III、IV所示。

PPⅠⅡⅢⅣ夹头ⅠⅡⅢⅣ试件o夹头Pbc

图2-15 试件的安装

图2-16 低碳钢试的件拉伸图