内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:06:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解方程组（1）、（2）得到

NCB?2P?2?75?106.1kNNAB?P?75kN3mA

PBPNABCBNCBb图2-27 例题2-12图（2）根据强度条件确定杆AB的截面大小 由式（2-5-1）

Nmax75?103A???0.4687?10?3m2?468.7mm2 6[?]160?10（3）根据所需截面大小选择等边角钢型号

由附录II型钢表查得边厚为3mm的4号等边角钢的横截面面积为2.359cm2＝235.9mm2。采用两个这样的角钢，其总横截面积为235.9×2＝471.8mm2>A＝468.7mm2，便能满足设计要求。

例题2-13：如图2-28a所示的起重机，其杆BC由钢丝绳AB拉住。已知钢丝绳的直径d＝24mm，许用拉应力为［?］＝40MPa。试求容许该起重机吊起的最大荷载P的数值为若干？

BBNABDD10mP10mdAPA15mC5m15mXCbC5mYC图2-28 例题2-13图

解：

（1）计算钢丝绳AB能承受的最大轴力

运用截面法用假想截面将钢丝绳AB截断，并取脱离体如图2-28b所示。由式（2-5-1）可算得

4?18.096?103N?18.096kNNAB?A[?]??(0.024m)2?40?106N/m2

（2）根据几何关系确定点C到AB的垂距d

______________________________22AB?BC?AC?102?152?18.1m__________AC15d?BCsin??BC?_____?10??8.3m18.1AB_____

（3）由平衡条件?Mc?0可列出静力学平衡方程 P×5＝NAB×d

将已求得的NAB与d值代入，即可求得起重机的容许荷载

NAB?d18.096?103?8.3P???30.039?103N 55 ?30.039kN4.2 考虑自重时受拉（压）杆的计算 1.强度计算和变形计算

到目前为止，对于受拉（压）杆的计算，我们都忽略了杆的自身重量（简称自重）。但在实际工程中，尤其是土建和水利工程中，有许多建筑或其构件，例如混凝土柱、钢筋混凝土梁、以及挡土墙、桥墩、重力坝等等，它们的自重都非常大；另外有些长度比较大的构件例如起重机的吊缆、钻探机的钻杆和海洋深度探测器的悬索等，其自重虽不一定很大，但和它们所承受的其它荷载比较，自重常占有很大的比例，故在计算这些构件的强度和变形时，不能再把它们的自重忽略不计。下面用几个具体例子说明考虑自重时受拉（压）杆的强度和变形的计算方法。

例题2-14：有一高度l＝24m的方形截面等直石柱（图2-29a），在其顶部作用有轴向荷载P＝1000kN。已知材料的容重?＝23kN/m3、容许应力［?］＝1MPa，试设计此石柱所需的截面尺寸。

P=1000kNPPNnnnnN(x)?AW(x)= b?Nmax=P+ Alc图2-29 例题2-14图

解：

在求解本例题时，应考虑到石柱是在轴向荷载P及其自重的共同作用下，柱的自重可看作是沿柱高均匀分布的荷载（图2-29a）。

（1）计算轴力

在距柱顶面的距离为x处，用一个假想横截面n－n截出脱离体如图2-29b所示，则在n

－n截面上的轴力为

N(x)??[P?W(x)]??(P??Ax)

式中的W(x)??Ax为n－n截面以上高度为x的一段石柱的重量。因材料的容重?和等直柱的横截面面积A都是常量，故上式中的W(x)沿柱高按直线变化，且当x＝0时，W(x)＝0，即在柱的顶面上不受自重作用，当x＝l时，W(x)＝?Al，即在柱的底面上要承受柱的全部重量。故石柱在自重单独作用下的轴力图构成三角形。当同时考虑外荷载P及自重W(x)作用时，石柱的轴力图则如图3-21c所示，最大轴力Nmax出现在柱的底面上，其值为Nmax＝－（P+?Al）。

（2）设计横截面

等直柱的横截面应根据最大轴力Nmax来设计，即柱的截面大小应能满足下列强度条件：

?max?NmaxP???l?[?] AA故可求得

A?P （2-5-2）

[?]??l将有关的已知数值代入，得到

P106A??6?2.23m2 3[?]??l10?23?10?24故方形截面的边长a应为

a?A?2.23?1.49m，取a?1.5m

将式（2-5-2）与由式（2-5-1）改写的A?P[?]进行比较，可见在计算受拉（压）的等

直杆时，考虑自重作用的影响，相当于从材料的许用应力［?］里减去?l。

例题2-15：试将例题2-14中的等直柱设计成等分为三段的阶梯形柱（图2-30a），并与例题3-12中设计的等直柱进行所需材料的比较。

P=1000kNP=1000kN1A12A23A3N1Nmax?1l1W1= A2max?2l2W2= AbNcmax图2-30 例题2-15图

解：

在确定了阶梯柱的各段高度以后，则各段所需的横截面积A1、A2、A3可按等直柱的方法来确定。

由图2-30b可知，作用在第一段柱顶面的外力为P，按例题2-14中导出的式（2-5-2）可求得第一段柱应有的横截面面积

P106A1??6?1.23m2 3[?]??l110?23?10?8与其相应的方形截面的边长

a1?A1?1.23?1.11m

取a1＝1.1m，则A1＝1.21m2。

由图2-30c可知，作用在第二段柱面上的力为Nmax＝P+Wt＝P+?A1l1。同样可求得第二段柱应有的横截面面积

P??A1l1106?23?103?1.21?82 A2???1.497m63[?]??l210?23?10?8与其相应的方形截面的边长

a2?A2?1.497?1.223m

取a2＝1.25m，则A2＝1.562m2。

同理，因作用在第三段顶面的力为 Nmax＝P+W1+W2＝P+?A1l1＝?A2l2

故第三段柱应有的横截面积

A3?P??Al11??A2l2[?]??l3106?23?103?1.2?8?23?103?1.562?8 ?106?23?103?8 ?1.85m2与其相应的方形截面的边长

a3?1.85?1.36m

取a3＝1.4m，则A3＝1.96m2

将例题2-14中设计的等直柱的体积V1＝Al＝2.23×24＝53.5m3，与本例题中设计的阶梯形柱的体积V2?(A1?A2?A3)?l?(1.21?1.562?1.96)8?4.732?8?37.86m3进行比3较，不难看出：采用阶梯式的变截面柱，比采用等直柱，可节省不少材料。

例题2-16 试计算图2-31a所示等直柱在考虑自重情况下的压缩变形。已知柱的横截面面积为A、材料的容重为?、弹性模量为E。

解：

首先在距柱顶面x处取出长为dx的微段（图2-31b）并研究其变形。因微段的自重?Adx很小，它对微段变形的影响可忽略不计，则根据胡克定律，微段的变形为

P?AxP?AdxN(x)b图2-31 例题2-16图d(?l)?N(x)dx(P??Ax)dx? EAEA

将上式对整个柱长l进行积分即可求得整个柱的变形为

(P??Ax)dxPlWl???0EAEA2EA式中的W＝?Al为柱的自重。 ?l??l(P?W)l2 EA由上式可见，等直柱由自重w引起的变形，与将自重的一半（即W/2）集中作用在柱顶端时所有的变形相同。

2.等强度杆

由前面的分析可以看到，对于等直柱我们是按照式（2-5-2）选择其横截面的，只使柱的底端横截面上的最大正应力?max达到了容许应力［?］，而其它横截面上的应力都要比［?］小。为了合理的使用材料，应使杆每一横截面上的正应力都达到［?］，具有这种特点的杆称为等强度杆。我们知道，竖立杆的自重是随着杆长的增加而增加的，杆的横截面面．．．．积也应随着杆长的增加而逐渐增大，即杆的横截面面积A应是截面距杆顶面距离x的函数，或A＝A（x）。故等强度杆是变截面杆。

PA0???A(x)A(x)+dA(x)A(x)????Axdx???[A(x)+dA(x)]???b图2-32 等强度杆的计算