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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念

与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性 理

1.函数的奇偶性

奇偶性 一般地，设函数y＝f(x)的奇函数 定义域为定义 如果对于任意的x∈A，都有f(－图象特点 偶函数 x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数 . 如果对于任意的x∈A，都有f(－关于y轴对称 A x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数. 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ )

(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( √ ) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ ) (6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )

1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e－e为

1

x－x奇函数的是________．(填函数序号) 答案 ④

解析 对于④，f(x)＝e－e的定义域为R，f(－x)＝e－e＝－f(x)，故y＝e－e为奇函数．

而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．

2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________. 答案 0

解析 由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以

x－x－xxx－xf(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)

＝0，所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2

|x－m|

－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，

b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为______________．

答案 c＜a＜b 解析 由函数f(x)＝2

|x|

|x－m|

－1为偶函数，得m＝0，

所以f(x)＝2－1，当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)．

4．(2014·天津)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝

??－4x＋2， －1≤x<0，?

?x， 0≤x<1，?

2

3

则f()＝________.

2

答案 1

解析 函数的周期是2， 331

所以f()＝f(－2)＝f(－)，

222

112

根据题意得f(－)＝－4×(－)＋2＝1.

22

5．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案 x(1－x)

解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．

2

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－x； (2)f(x)＝(x＋1)

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1－x； 1＋x??x＋x，

(3)f(x)＝?2

?－x＋x， x>0.?

x<0，

解 (1)定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)－(－x)＝－x＋x＝－(x－x) ＝－f(x)， ∴函数为奇函数．

1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．

1＋x∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．

(3)当x>0时，－x<0，f(x)＝－x＋x， ∴f(－x)＝(－x)－x＝x－x ＝－(－x＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(x)＝x＋x， ∴f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x ＝－(x＋x)＝－f(x)．

∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f(－x)＝－f(x)． ∴函数为奇函数．

思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

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(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x

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