内容发布更新时间 : 2024/6/16 18:26:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第7讲 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 ＝＝＝2R(R为△ABC外sin Asin Bsin C接圆半径) 余弦定理 abca2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 内容 a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B， c＝2Rsin__C； sin A＝，sin B＝， 2R2R变形形式 sin C＝； 2Racbb2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2caa2＋b2－c2cos C＝ 2aba∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； a＋b＋ca＝ sin A＋sin B＋sin Csin A2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 解的 个数 bsin A
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
2
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(2)S＝bcsin A＝acsin__B＝absin C；
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(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝(a＋b＋c)．
2
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
(4)在△ABC中，a＋b 1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( ) A.C. π 62π 3 B.D.π 35π 6 2 2 2 解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得 b2＋c2－a29＋25－4912 cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π. 2bc3023 2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 234 解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABCsin 60°sin B1 ＝×2×23＝23. 2 答案：23 [易错纠偏] (1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错． 1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选C.由正弦定理得＝， sin Bsin Cbc所以sin B＝ bsin C＝c40×20 32 ＝3>1. 所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A， B的关系为________． 解析：sin A＝sin B?a＝b?A＝B； sin A>sin B?a>b?A>B. 答案：A＝B A>B 3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π 即A＝B或A＋B＝， 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形 利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点) 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有： (1)由已知求边和角； (2)三角恒等变换与解三角形． 角度一 由已知求边和角 (1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若3bcos A＝ccos A＋acos C，则tan A的值是( ) A．－22 C．22 B．－2 D.2 (2)(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________． 【解析】 (1)因为△ABC中，由余弦定理得 b2＋c2－a2a2＋b2－c2 ccos A＋acos C＝c×＋a×＝b. 2bc2ab所以根据题意，3bcos A＝ccos A＋acos C＝b，