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第4讲 万有引力与航天

板块一 主干梳理·夯实基础

【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容

开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a3

＝k。 T22．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。 【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ

1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。

m1m2－

2．公式：F＝G2，其中G为万有引力常量，G＝6.67×1011 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通

r过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。

3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 【知识点3】 环绕速度 Ⅱ

1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。

2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 4．第一宇宙速度的计算方法。 vMm

(1)由G2＝mR，解得：v＝

Rv2

(2)由mg＝mR解得：v＝gR。

【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 2．第三宇宙速度(逃逸速度)

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观

(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。 2．相对论时空观

(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝

m0v21－2c

；

2

GMR；

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同2

的。

板块二 考点细研·悟法培优

考点1 开普勒第三定律 [深化理解]

1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看作匀速直线vbb11

运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，

a22反之越大。

2．开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动。

3．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆。为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的mv2

规律，如v＝ωr，F＝ma＝＝mrω2等。

r

例1 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )

b

A．vb＝ava a

C．vb＝va

b

B．vb＝D．vb＝

abva bv aa

该题涉及开普勒哪条定律？其内容是什么？

提示：开普勒第二定律。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 尝试解答 选C。

若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝

a·vat

；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积2

b·vbta·vatb·vbtaSB＝；根据开普勒第二定律得＝，即vb＝bva，C正确。

222总结升华

3

绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。

[跟踪训练] 木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( ) A．2天文单位 C．5.2天文单位 答案 C

解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳3T2r3r3木地木

的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律2＝2得r木＝ ·r地≈5.2天

T木T地T2地文单位。

考点2 天体质量和密度的估算 [拓展延伸]

B．4天文单位 D．12天文单位

1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 MmgR2

(1)由G2＝mg得天体质量M＝。

GRMM3g

(2)天体密度ρ＝＝＝。

V434πGR

πR3

2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 Mm4π2r4π2r3

(1)由G2＝m2得天体的质量M＝。

rTGT2(2)若已知天体的半径R，则天体的密度 MM3πr3

ρ＝＝＝。

V43GT2R3πR3

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

3π

，可见，GT2

例2 [2017·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( ) 4π2r3

A.22 TRg4π2mgr2

C.32

rT

T2R2gB.23 4πmr4π2mr3D.22 TRg

(1)知道地球绕太阳公转的周期T和太阳与地球中心间距r，能