内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:35:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
中考数学复习 反比例函数在中考中的常见题型
◆知识讲解
1.反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y= 2.反比例函数y=
k(k≠0). xk(k≠0)的性质 x (1)当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一,三象限内?在每一象限内,y随x的增大而减小.
(2)当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二,四象限内?在每一象限内,y随x的增大而增大. (3)在反比例函数y=
k中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值,?也就是求其图像x上一点横坐标与纵坐标之积,?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根,运用两根之积求k的值.
k图像上一点(a,b)满足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求双x?2曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2,又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是y=.
x (4)若双曲线y=
(5)由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y?轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势. ◆例题解析
例1 (2006,上海市)如图,在直角坐标系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数y= (1)求点A的坐标;
(2)如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,?求这个一次函数的解析式.
【分析】(1)用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标,纵坐标,把点A的坐标代入y=
12的图像经过点A, x12可求得a的值,从而得出点A的坐标. x (2)设点B的坐标为(0,m),根据OB=AB,可列出关于m的一个不等式,?从而求出点B的坐标,进而求出经过点A,B的直线的解析式. 【解答】(1)由题意,设点A的坐标为(a,3a),a>0.
∵点A在反比例函数y=
1212的图像上,得3a=,解得a1=2,a2=-2,经检验a1=2,xaa2=-2?是原方程的根,但a2=-2不符合题意,舍去. ∴点A的坐标为(2,6).
(2)由题意,设点B的坐标为(0,m). ∵m>0,∴m=(m?6)2?22.
1010,经检验m=是原方程的根, 3310 ∴点B的坐标为(0,).
1310 设一次函数的解析式为y=kx+.
13 解得m=
由于这个一次函数图像过点A(2,6), ∴6=2k+
410,得k=.
33410x+. 33m的图像在x ∴所求一次函数的解析式为y=
例2 如图,已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=第一象限内的交点,且S△AOB=3.
(1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,?请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.
(2)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DE⊥x?轴于E,那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定?
(3)请判断△AOD为何特殊三角形,并证明你的结论.
【分析】△AOB是直角三角形,所以它的面积是两条直角边之积的
1,?而反比例函数2图像上任一点的横坐标,纵坐标之积就是反比例函数中的系数.由题意不难确定m,则所求一次函数,反比例函数的解析式就确定了.
由反比例函数的定义可知,过反比例函数图像上任一点作x轴,y轴的垂线,?该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的. 【解答】(1)设B(x,0),则A(x0,
m),其中0>0,m>0. x0 在Rt△ABO中,AB=
m,OB=x0. x0 则S△ABO =
m1·x0·=3,即m=6.
x02 所以一次函数的解析式为y=x+6;反比例函数的解析式为y=
6. x?y?x?6? (2)由?6得x2+6x-6=0,
y??x? 解得x1=-3+15,x2=-3-15.
∴A(-3+15,3+15),D(-3-15,3-15).
由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点P(x,y),有
6.即xy=6. x1 ∴S△DEO =│xDyD│=3,即S△DEO =S△ABO.
2 y=
(3)由A(-3+15,3+15)和D(-3-15,3-15)可得AO=43,DO=43,即AO=DO.
由图可知∠AOD>90°,∴△AOD为钝角等腰三角形.
【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系.通过对直观图形的观察,借助代数运算验证,便不难判断.
◆强化训练 一、填空题
1.(2006,南通)如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y=两点,?则2x1y2-7x2y1的值等于_______.
4交于A(x1,y1),B(x2,y2)x
图1 图2 图3
2.(2006,重庆)如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(-
20,5),D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好3落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是______.
3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y与x的函数关系式为_______. 4.若y=
3a?1xa2?a?1中,y与x为反比例函数,则a=______.若图像经过第二象限内的某点,
则a=______. 5.反比例函数y=
k的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根,则xk=_______;点P到原点的距离OP=_______.
6.已知双曲线xy=1与直线y=-x+b无交点,则b的取值范围是______. 7.反比例函数y=
k的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两x个根,那么点P的坐标是_______. 8.(2008,咸宁)两个反比例函数y=
k1和y=在第一象限内的图像如图3所示,?点Pxxk11在y=的图像上,PC⊥x轴于点C,交y=的图像于点A,PD⊥y轴于点D,交y=
xxx的图像于点B,?当点P在y=
k的图像上运动时,以下结论: x ①△ODB与△OCA的面积相等; ②四边形PAOB的面积不会发生变化; ③PA与PB始终相等
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是_______(把你认为正确结论的序号都填上,?少填或错填不给分). 二、选择题
9.(2008,济南)如图4所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,?若双曲线y=
k(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( ) x A.1 图4 图5 图6 10.反比例函数y= k(k>0)的第一象限内的图像如图5所示,P为该图像上任意一点,PQx垂直于x轴,垂足为Q,设△POQ的面积为S,则S的值与k之间的关系是( ) A.S= kk B.S= C.S=k D.S>k 422的图像在第一象限内的交x11.如图6,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 点,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为( ) A.2 B.12.函数y= 2 C.2 D.22 2m与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ) x