内容发布更新时间 : 2024/12/22 23:17:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

再推广到空间中有不在同一直线上的三点(xiyizi)(i?1,2,3)的平面方程为:

xx1

x2x3yy1y2y3zz1z2z311?0 112.关于正交变换的几何意义

在二次型化为标准型时，可以采用可逆变换或正交变换但由于可逆变换对

x2y2z2??1； 应于仿射坐标系的变换，所以区别比较大.例如：?149通过可逆变换化成x?2?y?2?z?2?1，即椭球面变成了球面.

?x??1??x????????通过线性变换?y???2??y??化成x?2?y?2?1，即椭球面变成了圆柱

?z????0??????z??面.而正交变换保持向量长度和角度不变，因此几何图形不变.所以在讨论

二次方程决定的图形时，必须用正交变换；如果只考虑它所属类型时，可以用可逆变换（当然包括正交变换）.还应注意正交变换中：①当正交阵的行列式表示为1时是旋转变换；②当正交阵的行列式为-1时，为镜面反射变换.

3.关于正交化的几何解释

线性无关的向量组可以由schmidt正交化得到与其等价的正交组，它

?2，的几何解释为，如果有三个线性无关的向量?1，?3则可通过schmidt

正交化得到相应的三个正交向量?1，?2，?3这里?1??1，?2??2??2，

?3??3??3，其中?2为?2在?1上的投影向量；?3为?3在?1、?2所确定的垂直投影向量.

（三）两个线性代数问题的几何解释

线性代数与几何紧密相关，线性代数中许多问题都有形象的几何解

释，在线性代数教学中有效的融合几何背景，可以帮助学生更好的理解线性代数中较为抽象的问题.下面就线性代数中两个比较抽象的问题详细的给予几何解释[8]. 1.线性相关与线性无关

线性代数中线性相关与线性无关的定义如下：

定义： 给定向量组 A:?1,?2,?,?S，如果存在不全为零的数k1,k2,?,ks，

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使k1?1?k2?2???ks?s?0 (1) 则称向量组 A 线性相关, 否则称为线性无关， 即当且仅当k1?k2???ks?0 时，(1) 式成立,

向量组?1,?2,?,?s线性无关.线性相关、线性无关的定义给出之后，接着又给出了若干判断线性相关的定理与推理，如：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.在解析几何中，也有线性相关和线性无关的定义，并有着形象的几何解释.两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面，可以用来理解线性相关这个抽象的定义.三维欧式空间中任何四个或四个以上向量总是线性相关的，可以用来理解向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关. 2.施密特正交化

当向量空间中的基取做标准正交基时，可以通过向量的内积运算快

速求出某个向量在此基下的坐标，因此在给出向量空间的基时常常取标准正交基.在实对称矩阵的对角化问题上，我们需要求正交矩阵使得实对称矩阵对角化.这两方面的问题都需要对向量组正交化，而用到的方法即为施密特正交化，具体过程如下： 设 ?1,?,?r是向量空间 V 的一个基,

?1??1； （2）

?2??2???1,?2?? （3）

??1,?1?1?3??3???

??1,?3?????2,?3?? （4） ??1,?1?1??2,?2?2??1,?r?????2,?r???...???r?1,?r?? （5） ??1,?1?1??2,?2?2??r?1,?r?1?r?1?r??r?此处的要求是记忆并应用公式，但学生不理解这个公式是怎么来的，此时可以以三个向量为例，利用几何背景来形象的理解此公式：（2）—（5）式是解析几何中将仿射标架变为直角标架的过程：

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??1,?2????,??1（3）式中??1,?1?为?2在?1上的射影向量，因此 ?2??2?12?1垂

??1,?1?直于?1； （4）式中

??1,?3?????2,?3??为?在?，

1?2生成的平面上的射影向量，312??1,?1???2,?2?因此 ?3??3???1,?3?????2,?3??垂直于 ?，?，类推；

12??1,?1?1??2,?2?2（5）式中

??1,?r?????2,?r???...???r?1,?r??可以理解为?在?，

r1??1,?1?1??2,?2?2??r?1,?r?1?r?1?2，?3，?，?r?1所生成平面的射影向量，而

?r??r???1,?r?????2,?r???...???r?1,?r?? ??1,?1?1??2,?2?2??r?1,?r?1?r?1（6）垂直于 ?1,?2,...,?r?1通过这种简单形象的几何解释，可以更好的记忆和理解这个公式.

线性代数与解析几何的联系远远不止于此，解析几何除了可以为线性代数中抽象问题提供几何直观外，线性代数也为解析几何提供了代数工具，两者相互渗透，因此充分重视两者的结合教学是非常必要的.

（四）线性代数中解析几何的应用

二次型与二次曲面和二次曲线的联系

在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合，一个有心二次曲线的一般方程是：

ax2?2bxy?cy2?f (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?作转轴（反时针方向转轴）

X?xcos??ysin?；Y?xsin??ycos? (2)

把方程(1)化为标准方程.在二次曲面的研究中也有类似情况.从代数角度看，所谓化标准方程就是用变量的线性代换(2)化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项.二次型就是在这个基础上提出来的.就譬如说二次曲面

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吧.研究二次曲面：

a11x1?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3?b1x1?b2x2?b3x3?c?0的形状，就可以利用矩阵运算，把方程写为f(x1,x2,x3)?xTAx?BTx?c?0其中

x?(x1,x2,x3)T，B?(b1,b2,b3)T，

?a11A???a21??a31

a12a22a32a13?a23??a33??，

222 aij?aji，

这里，i,j?1,2,3再利用实对称矩阵可以正交相似对角化知，有正交变换

??1QTAQ???2???x?QY，使得：

??， ??3??即有XTAX??1y1??2y2??3y3，相应地，

222?y1?b2?y2?b3?y3 BTX?(BTQ)Y?b1这样则

?y1?b2?y2?b3?y3?c?0 f(x1,x2,x3)?g(y1,y2,y3)??1y2??3y3?b1由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换，因此，方程中的常数项不变.于是就可剧此用解析几何讨论图形的形状.二次型化为标准型可以利用解析几何中二次曲线、二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线化为标准方程的化简可以运用线性代数中的二次型化为标准型的方法来化简，例如配方法、初等变换以及正交变换.

22四、结束语

本文从多方面浅谈了线性代数与空间解析几何的关系及它们间的相互作用.其中包括齐次线性方程组、线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何的应用及空间解析几何代数问题的几何化意义等.从本文的例子看出线性代数与空间解析几何都有各自独特的地位，彼此促进.通过两者的整合，

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对今后知识的开发具有重要作用，同时也让我们的数学思维有进一步的提高.

五、参考文献

[1] Horn R A，Johnson C R．Matrix Analysis [M]．Cambridge：Cambridge University

Press，1985．

[2]康生义，齐次线性方程组在空间解析几何中的应用几例，Jun15，2001，vol.3，No.6.

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