内容发布更新时间 : 2025/7/8 0:30:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．

????log0.5?x－2?>0，

?(4)由得?5?2x－5≠0??x≠，

2

?

55

2，?∪?，3?. ∴函数的定义域为??2??2?

思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．

(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．

函数的值域

例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； 2x＋1

(2)y＝；

x－3(3)y＝2x－x－1； (4)y＝x＋1＋x－1.

解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，

再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．

2x＋12?x－3?＋77

(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，

x－3x－3x－37

显然≠0，∴y≠2.

x－3

故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0， 115t－?2＋， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2??4?8

15

，＋∞?. 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为??8?(4)函数的定义域为[1，＋∞)，

∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．

结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域．

解 函数的定义域为[1，＋∞)， y＝x＋1－x－1＝

2

，

x＋1＋x－1

由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)， 12

≤，

x＋1＋x－12

2

∴0<≤2，

x＋1＋x－1∴0<

∴函数的值域为(0，2]． 思维升华 求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．

跟踪训练1 求下列函数的值域： 1－x2

(1)y＝；

1＋x2(2)y＝x＋41－x； 2x2－x＋1?1?x>. (3)y＝

2x－1?2?1－x22

解 (1)方法一 y＝＝－1＋， 2

1＋x1＋x22

因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.

1＋x22

所以－1<－1＋≤1.

1＋x2即函数的值域为(－1,1]．

1－x21－y2

方法二 由y＝，得x＝. 1＋x21＋y1－y

因为x2≥0，所以≥0.

1＋y

所以－1

所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)， 所以y≤5，

所以原函数的值域为(－∞，5]． 2x2－x＋1x?2x－1?＋1(3)y＝＝ 2x－12x－1111

＝x＋＝x－＋＋，

2122x－1

x－211

因为x>，所以x－>0，

221

所以x－＋≥2

21x－2

1212

12

?x－1?·?2??1?＝2，

?x－2?12

1＋21

当且仅当x－＝，即x＝时取等号．

212x－211

2＋，＋∞?. 所以y≥2＋，即原函数的值域为?2??2

定义域与值域的应用

例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． 9答案 －

2

解析 函数f (x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}， a<0，??

所以?a＋ab＋b＝0，

??4a＋2ab＋b＝0，

3??a＝－2，

解得?

??b＝－3，

39

所以a＋b＝－－3＝－.

22

(2)已知函数y＝x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．

解 令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝t的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)?{y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}．

思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．

跟踪训练2 (1)若函数f (x)＝ax－2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)

解析 由于函数f (x)＝ax－2 021在[2 021，＋∞)上有意义，

2 0212 021

即ax－2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a≥在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<

xx≤1，故a≥1.

1

(2)已知函数f (x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.

2答案 3

1

解析 f (x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，

21

则f (1)＝1，f (b)＝(b－1)2＋1，

2∵f (x)在[1，b]上为增函数， 1

1，?b－1?2＋1?. ∴函数值域为??2?