2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案:第二章 2.1 函数及其表示 (含解析) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:03:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∴函数的定义域为(-2,0)∪[1,2).

????log0.5?x-2?>0,

?(4)由得?5?2x-5≠0??x≠,

2

?

55

2,?∪?,3?. ∴函数的定义域为??2??2?

思维升华 (1)给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是使解析式有意义,如分式的分母不等于零,偶次根式的被开方数为非负数,零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.

(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心,取交集时可借助数轴,并且要注意端点值或边界值.

函数的值域

例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域: (1)y=x2-2x+3,x∈[0,3); 2x+1

(2)y=;

x-3(3)y=2x-x-1; (4)y=x+1+x-1.

解 (1)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),

再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).

2x+12?x-3?+77

(2)(分离常数法)y===2+,

x-3x-3x-37

显然≠0,∴y≠2.

x-3

故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (3)(换元法)设t=x-1,则x=t2+1,且t≥0, 115t-?2+, ∴y=2(t2+1)-t=2??4?8

15

,+∞?. 由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数的值域为??8?(4)函数的定义域为[1,+∞),

∵y=x+1与y=x-1在[1,+∞)上均为增函数, ∴y=x+1+x-1在[1,+∞)上为单调递增函数, ∴当x=1时,ymin=2,即函数的值域为[2,+∞).

结合本例(4)求函数y=x+1-x-1的值域.

解 函数的定义域为[1,+∞), y=x+1-x-1=

2

x+1+x-1

由本例(4)知函数y=x+1+x-1的值域为[2,+∞), 12

≤,

x+1+x-12

2

∴0<≤2,

x+1+x-1∴0<

∴函数的值域为(0,2]. 思维升华 求函数值域的一般方法

(1)分离常数法;(2)反解法;(3)配方法;(4)不等式法;(5)单调性法;(6)换元法;(7)数形结合法;(8)导数法.

跟踪训练1 求下列函数的值域: 1-x2

(1)y=;

1+x2(2)y=x+41-x; 2x2-x+1?1?x>. (3)y=

2x-1?2?1-x22

解 (1)方法一 y==-1+, 2

1+x1+x22

因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤2.

1+x22

所以-1<-1+≤1.

1+x2即函数的值域为(-1,1].

1-x21-y2

方法二 由y=,得x=. 1+x21+y1-y

因为x2≥0,所以≥0.

1+y

所以-1

所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0), 所以y≤5,

所以原函数的值域为(-∞,5]. 2x2-x+1x?2x-1?+1(3)y== 2x-12x-1111

=x+=x-++,

2122x-1

x-211

因为x>,所以x->0,

221

所以x-+≥2

21x-2

1212

12

?x-1?·?2??1?=2,

?x-2?12

1+21

当且仅当x-=,即x=时取等号.

212x-211

2+,+∞?. 所以y≥2+,即原函数的值域为?2??2

定义域与值域的应用

例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x)=ax2+abx+b的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________. 9答案 -

2

解析 函数f (x)的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2}, a<0,??

所以?a+ab+b=0,

??4a+2ab+b=0,

3??a=-2,

解得?

??b=-3,

39

所以a+b=--3=-.

22

(2)已知函数y=x2+ax-1+2a的值域为[0,+∞),求a的取值范围.

解 令t=g(x)=x2+ax-1+2a,要使函数y=t的值域为[0,+∞),则说明[0,+∞)?{y|y=g(x)},即二次函数的判别式Δ≥0,即a2-4(2a-1)≥0,即a2-8a+4≥0,解得a≥4+23或a≤4-23,∴a的取值范围是{a|a≥4+23或a≤4-23}.

思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题.可通过分析函数解析式的结构特征,结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组),然后求解.

跟踪训练2 (1)若函数f (x)=ax-2 021在[2 021,+∞)上有意义,则实数a的取值范围为________. 答案 [1,+∞)

解析 由于函数f (x)=ax-2 021在[2 021,+∞)上有意义,

2 0212 021

即ax-2 021≥0在[2 021,+∞)上恒成立,即a≥在[2 021,+∞)上恒成立,而0<

xx≤1,故a≥1.

1

(2)已知函数f (x)=(x-1)2+1的定义域与值域都是[1,b](b>1),则实数b=________.

2答案 3

1

解析 f (x)=(x-1)2+1,x∈[1,b]且b>1,

21

则f (1)=1,f (b)=(b-1)2+1,

2∵f (x)在[1,b]上为增函数, 1

1,?b-1?2+1?. ∴函数值域为??2?