内容发布更新时间 : 2024/11/1 19:37:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、（40分）新型号汽车在出厂前都要通过破坏性试验。在某次汽车试验中，一个汽车轮子的三根辐条被撞掉了其中一根，轮子的横截面如图1.1所示。该轮子可视为内、外半栓分别为R1=4R0/5、R0的轮盘和两根辐条组成(假设轮盘可视为匀质环形圆盘，辐条可视为匀质细杆)，每根辐条的质量为m，轮盘的质量为M=8m.轮子从图示位置由静止开始释放，释放时轮子上两辐条所张角的平分线恰好水平，此后该轮子在水平地面上做纯滚动.试求： (1) 刚释放时轮子的角加速度；

(2) 释放后辐条OB首次转到竖直位置时，轮子的角加速度、地面对轮子的摩擦力和支持力.

二、(40分)一个长为l、内外半径分别为a和b的半圆柱体由两种不同的耗损电介质构成，它们的相对介电常数和电导率分别为εr1和σ1(0≤φ<θ0区域)，εr2和σ2(θ0<φ≤π区域)，其横截面如图2.1所示.在半圆柱两侧底部镀有金属膜，两金属膜间加有直流电压V0，并达到稳定. 已知真空介电常量为ε0，两种介质的相对介电常数大、电导率小.忽略边缘效应. (1) 求介质内电场强度和电势的分布； (2) 求φ=θ0界面处的总电荷；

(3) 分别计算0≤φ<θ0和θ0<φ≤π两介质区域的电阻和电容；

(4) 在t=0时刻断开电源，求随后的两金属膜间电压随时间的变化(此过程可视为似稳过程)，并画出相应的等效电路图. 三、（40分）用超导重力仪对地球表面重力加速度的微小变化及其分布进行长时间、高精度观测，不仅可获得有关地幔运动、质量分布、固体潮汐、地下水和矿产分布等地球内部结构信息，还可以获得海洋潮汐、气候变化等外部数据。超导重力仪灵敏度高（可达地球表面重力加速度的10-9）、稳定性强，是目前地球科学领域广泛釆用的重力观测装置. 随着分布全球超导重力仪数目的增加、观测网络的建立和数据的共享，为地球科学的发展和万有引力规律的精确检验等等提供了新的机遇。试就下列有关地下水分布引起的重力变 化、超导重力仪原理等问题给出回答。

1.假设地球可看成是一个半径为6370 km的均匀球体，其表面重力加速度g0 = 9.80m?s-2 （不考虑地球自转）。现某处地下有一个直径为20 km充满水的球形地下湖，其球心离地面15km。求地下湖正上方地表处重力加速度的微小变化Δg。已知万有引力常量G= 6.67x10-11 N·m2·kg-2, 水的密度ρ水=1.0×103 kg·m-3.

2. 超导重力仪的核心部件是悬浮在磁场中、由金属铌（Nb）制成的超导球壳，为计算方便，这里简化为超导细环（见图3.1）.悬浮磁场由固定的准亥姆霍兹（Helmholtz）线圈提供，它由匝数分别为αN和N的上、下两个同轴细超导线圈（α<1）串联而成，它们的半径及其中心之间的距离均为R。超导重力仪调试前，亥姆霍兹线圈和超导细环中的电流均为零，超导细环处在下线圈平面内（z = 0）, 且与线圈同轴。开始调试后，外电源对亥姆霍兹线圈缓慢加上电流i0 , 在此过程中超导细环内会产生感应电流. 调节i0的大小，使超导细环正好悬浮在上线圈平面内（z = R）,如图3.1所示. 由于超导线圈和超导细环的电阻均为零（其所在处的温度为4.2 K）,超导环被稳定悬浮后，移去提供超导线圈电流的电源，超导线圈中的电流i0以及由此产生的磁场均能长期保持稳定. 已知超导细环的质量为m、直径为D （D<<2R〉、自感系数为L; 在上线圈平面附近，由亥姆霍兹线圈产生的磁感应强度B的z方向分量和径向分量分别可近似表示为：

??Bz?B0[1??(z?R)]??1 ?Br?2?B0r其中B0为上线圈中心处的磁感应强度，β为径向系数，r为到轴线的距离. 利用上述线圈和超导细环的已知参数，以及线圈中的外加电流i0 , 求： （1）B0和β的表达式；

（2）超导细环在平衡处（z = R）的感应电流I0的表达式; （3）超导重力仪放置地的重力加速度g的表达式.

3.为了精确测量重力加速度的微小变化，在超导重力仪中釆用了交流电桥平衡法.为了理解其原理并便于计算，将超导细环视为面积为A的薄“平板”，并在其上、下对称位置， 即在R+d/2、R-d/2处，分别固定两个形状相同、面积也为A的铝平板，构成上极板与超导“平板”、下极板与超导“平板”两个电容器C1和C2 , 如图3.2所示. 再将C1和C2与两组完全相同的电感L0和电容C0连接成电桥，并接在交流电源上（其频率远高于重力加速度的变化快慢），如图3.3所示. 假设某时刻，超导重力仪所在地的重力加速度为g, 超导细环（超导“平板”）处在平衡位置z = R处，交流电桥处于平衡，同时在C1和C2上加有相同的直流电压VC；当重力加速度改变Δg , 导致交流电桥失衡，将C1上的直流电压增加ΔV、C2上的直流电压减少ΔV后，电桥又重新达到平衡. 试给出Δg与ΔV的关系式（忽略电容器的边缘效应）。

四、(40分) 汽车以发动机气缸中的空气与汽油发生燃烧产生动力，发动机的输出功率与进入气缸中的空气质量成正比. 为了提高动力，很多汽车加装了涡轮增压器，在空气进入发动机气缸之前对它进行压缩，以增加空气密度；为了进一步提高空气密度，还通过一个中间冷却器，使空气温度降低后再进入气缸. 在一个典型的装置中，进入涡轮增压器的初始空气压强为一个大气压p0=1.01×105 Pa, 温度T0=15℃；通过涡轮增压器后，空气绝热压缩至p1 = 1.45×105 Pa；然后又通过中间冷却器，让空气等压地降至初始温度T0并充满气 缸. 假设空气为理想气体，已知气缸容积V0 = 400 cm3 , 空气摩尔质量M=29.0 g·mol-1,摩尔热容比γ= 7/5；普适气体常R= 8.31 J·K-1·mol-1 (1) 求此时气缸内的空气质量；与未经增压和冷却情形相比，发动机输出功率增加到多少倍？

(2) 如果没有中间冷却器，仅经过涡轮增压器把空气压缩后输入到气缸中，相应的空气质量是多少？与未经增压的情形相比，发动机输出功率增加到多少倍？

(3) 在经过涡轮增压器和中间冷却器的热力学过程中，试求外界对进入气缸的气体所做的功，及气缸中的气体在上述两个过程中各自的熵变.

五、（40分）2018年诺贝尔物理学奖的一部分授予美国科学家亚瑟?阿什金对光捕获（光镊）所做的开创性工作. 光镊是用聚焦的激光束实现对微小颗粒的捕获，图5.1所示为一种光镊实验装置示意图He-Ne激光器输出波长λ= 632.8 nm激光，光束直径D1 = 1.5 mm, 输出功率P = 30 mW.为了使得捕获效果更好，可以在输岀的激光束后加一个扩束镜. 激光束经反射镜反射后入射到一个焦距f =4 mm的聚焦物镜，将光束汇聚于样品池内液体中，样品池内液体加有一定数量的聚苯乙烯小球. 已知小球的直径Db = 2.0μm, 密度ρb= 1.0x103 kg?m-3，样品池光学玻璃材料折射率ng=1.46，池内蒸馏水折射率nw= 1.33, 底部玻璃厚度d = 1.0 mm,底部玻璃外表面到聚焦物镜中心的距离 a=2.0mm, 实验时温度T = 300 K：空气折射率na= 1.0 , 重力加速度g = 9.80 m?s-2, 玻尔兹曼常量kB = 1.38×10-23J·K-1，聚苯乙烯小球经过激光聚焦光斑时有可能被光捕获.

（1） 求不加扩束镜时激光束在空气中经聚焦物镜后聚焦光斑的直径；

（2） 为了提高捕获效果，对输岀激光束进行扩束，如图5.1所示，釆用的扩束镜由一个焦距f =-6.3 mm的凹透镜和焦距f2 = 25.2 mm的凸透镜组成，若要使得扩束后的激光束是平行激光，求两个透镜之间的距离和扩束后的平行激光束直径D2 ;

（3） 将扩束后的激光束经图5.1所示聚焦物镜聚焦于样品池内蒸馏水中，求在傍轴近似下聚焦光斑中心到样品池底部内表面的距离和聚焦光斑的直径；

（4） 图5.2为浸没在蒸馏水中的聚苯乙烯小球在梯度光场（简化成强度不同的两束光）中受力的几何光学模型，入射光线L1和L2沿x轴方向，其光功率分别为P1 = 1.0 mW和P2 = 2.0 mW , 光线经小球折射后其方向夹角如图5.2所示，不考虑光线在传播过程中的反射和吸收损耗，求小球在x方向和y方向受到的力，并分别求其与小球重力之比；

（5） 求试问下（300K）蒸馏水中小球的方均根速率；

（6） 光镊也可以通过光势阱模型理解，平行激光束经透镜聚焦后对小球的径向光势阱分布

??r2U(r)????U?0??1?b2??(r?b)

??0(r?b)上式中，b是常量，r是到光场中心距离，U0 = 0.078 eV , 试问速率不超过多大的小球才能被光势阱所捕获；

32(7)已知聚苯乙烯小球速率分布函数为f(v)?4???m?2mv?v2e?2kBT， ?2?k?gT??上式中，m和v分别是小球质量和速率，T是绝对温度. 如果在蒸馏水中，同时存在两种质量分别为m和2m的

聚苯乙烯小球，试分析比较它们被光势阱捕获概率Pm和P2m的大小.

六、（80分）仰望星空可以激发人们无限的想象.随着科学与技术的进步，人们对宇宙的认识不断加深，特别是21世纪以来随着中微子丢失之谜的解决，引力波直接的探测，以及近期黑洞照片的拍摄，引起了大众对探索宇宙的广泛兴趣. 人类是如何利用有限的设备观察研究浩瀚的宇宙以及宇宙重要组成部分恒星的呢？具有高中物理基础的公众是否有可能定量地理解恒星的内外性质，如大小、质量、年龄、寿命、构成和产生能量的机制等等？ 本题试从简单到复杂，按照历史的脉络构建起太阳模型. 由于不能直接观察太阳内部，所建的模型需要多角度的检验，如年龄、半径、表面温度、能量输出、中微子通量等等，都需要在同一个模型下相互自洽. 已知地球半径为6370 km,万有引力常量G= 6.67×10-11N·m2·kg-2,斯忒藩-玻尔兹曼常董 σ= 5.67×10-8 W·m-2·K-4, 玻尔兹曼常量kB = 1.38×10-23 J?K-1, 电子电量 e = 1.602x10-19 C , 电子质量 me= 0.51 MeV/c2,质子质量 mp= 938.3 MeV/c2 , 氘核质量mD= 1875.6 MeV/c2, 3He核质量 m3He=2808.4 MeV/c2, 4He核质量 m4He= 3727.5 MeV/c2. 1. 成书于两千多年前的《周髀算经》（原名《周髀》）介绍了测量太阳直径D与日地距离 S日地（也称1个天文单位）比值的方法：取一长直竹竿，凿去竹节使其内部贯通，竹杆的内直径为d. 用这根竹竿对准太阳，改变竹竿长度L，使得太阳盘面刚好充满竹竿内管.

（1） 给出太阳视角（Φ= D/S日地）与d和L的关系；

（2） 为了减少误差需要L有足够的长度，此外还有哪些方法可以减少误差？ （3） 测得d=1寸，L = 8尺，（1尺为10寸），则Φ= D/S日地值为多少？ 2. 在某些特殊时间（如2012年6月6日），地球、金星和太阳几乎在一条直线上，这时从地球上观测，金星就像一个小黑点镶嵌在太阳盘面上，并缓慢移动，这称为金星凌日， 如图6.1所示. 英国天文学家哈雷曾在1716年建议在世界各地联合观察金星凌日以测量太阳视角和日地距离. 已知地球和金星同向绕日公转，周期分别为T地=365.256天和 T金=224.701天，各自的轨道平面之间的倾角很小. 不考虑地球自转.

(1) 地球和金星的公转轨道均可视为圆，求日金距离S日金与日地距离S日地之比rVE ;

(2) 2012年6月6日，某地观察到金星凌日现象如图6.1 , 试计算金星凌日扫过太阳盘面弦长Dp与日地距离S日地的比值；若此弦与盘面圆心之间的距离为hp = 5D/16, 则太阳视角Φ为多少？

(3) 为了测量日地距离需要在地球表面不同地点分别观察金星凌日现象，如图6.2所示. 假设在地面同一经度上直线距离为H的两位观察者P和P′同时观察金星凌日现象，对于P来说，金星在太阳盘面上的运动轨迹为AB, 其观察得金星凌日时间（金星中心扫过太阳盘面的时间间隔）为tp ; 而对于P′来说，金星在太阳盘面上的运动轨迹为A′B′，,其观察得金星凌日时间tp′.试求日地距离表达式（用Φ，rVE，T地，T金，tp、tp′和H等等表示）

(4) 已知北京和香港的纬度分别为39.5°和22.5°, 2012年6月6日北京和香港的金星凌日时间分别为tp = 6:21:57, 和tp′ =6:19:31 ,试以此数据，利用(3)小题的结论，计算日地距离S日地.

3. 1882年的金星凌日观测结果得出平均日地距离s日地=1.5×108 km，太阳直径D=1.4×106 km地球在垂直于太阳辐射方向上接收到的太阳辐射照度I = 1.37 kW·m-2. 计算 (1) 单位时间内，地球从太阳接收到的总能量；

(2) 全球70亿人口消耗掉的能源与地球接收到的太阳能量之比. (按人均年消耗能源3吨标准煤，1kg标准煤可以发4度电计算)；

(3) 太阳单位时间辐射的总能量； (4) 估算太阳表面温度.

4. (1)计算太阳的总质量与平均密度；

(2) 若太阳能源来自化学反应，设单位质量放出的能量与煤相当，则以太阳现在单位时间辐射的能量计算，可以持续多久？太阳作为恒星存在约50亿年，那么其产能效率应该是化学反应效率的多少倍？ 5. 通过光谱分析可知太阳的主要成分是氢，涉及氢的基本核聚变反应式如下； P + P→D + e+ + νe (a) D + P →3He + γ (b) 3

He + 3He→4He + P + P (c)

上述核聚变反应过程中产生的正电子将会湮灭，中微子将逃逸. 原子核均带正电，相互排斥，除非处于很高的温度，其动能有可能克服库仑排斥力，从而实现聚变反应. 当温度足够高时，所有的原子均电离成了原子核和电子，处于等离子体状态. (在此不考虑中微子带走的能量，也不考虑由于太阳风带走的未聚变的氢) （1）要维持太阳的辐射，单位时间需要消耗多少个质子（氢核）？

（2）现在太阳质虽的71%为氢，按照此消耗速率，最多还可以维持多少年？并计算单位时间质子-质子的反应概率（单位时间反应的粒子数与总粒子数之比）PPP；

（3）逃逸出的中微子的数目在传播过程中不会减少，单位时间在垂直于太阳辐射方向上单位面积内有多少中微子到达地球？（实际到达地球的电子中微子数量只有理论值的35%, 但加上另外二类中微子的数量，则与理论值相符，表明有部分电子中微子在传播过程中转换成为其他类中微子，这与中微子振荡有关，相关成果获2002年和2015年诺贝尔物理学 奖）

（4）单位时间太阳由于辐射减少多少质量？

6. 聚变反应的概率P与等离子体的温度T有关，而且粒子数密度（单位体积中的粒子数）n越高反应概率越高，有关系式P =nR(T) , 其中R(T)称为反应率. 图6.3给出了三种聚变的反应率与温度的关系，试估算能够产生核聚变反应的太阳核心区域（其半径约为太阳半径的四分之一）温度的下限.

7. 估算单个中微子带走的最大能量，并估计第5小题忽略了中微子带走的能量所造成的辐射能量计算的最大相对误差.

8. 从前面的计算可知，太阳的质量逐渐减少，那么地球绕太阳公转的周期和平均轨道半径也将变化，计算： (1) 一亿年内由于辐射引起的质量减少量ΔM； (2) 由此引起的地球公转周期的变化量.