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第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

???量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?e'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方

???????????向平行；当??0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e??????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。

???6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。

??分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使??????r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r'，r''的关系。

???证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向

????????量，且r(t)·n = 0 。两次求微商得r'·n = 0 ，r''·n = 0 ，即向量r，r'，r''垂直

???于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。

???????????反之, 若（rr'r''）=0，则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0，由上题知

???r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'??0，则存在数量函数?(t)、

?(t)，使r''= ?r+?r' ①

??

???令n=r×r'，则n???????0，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

??????????n'=r×r''=?（r×r'）=?n，于是n×n'=0，由上题知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

?解 令cost=1,sint=0, t=0得t=0, r'(0)={ -sint,cost,1}|t?0 ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 x?1?y?z ，法平面为 y + z = 0 。

011?2．求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切线为， ??2a2bt03ct0223)?3ct0(z?ct0)?0。 法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt03. 证明圆柱螺线r={ a cos?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固定角。

?证明 r'= {-asin? ,acos?,b},设切线与z轴夹角为?,则cos?

???r'?kb=???22为常数，故?为定角（其中k为z轴的单位向量）。 |r||e|a?b4. 求悬链线r={t，acoshat}（-??t??）从t=0起计算的弧长。

?1?sinh2tat = cosha， ｓ＝

t解 r'= {1，sinha}，|r' | =

??cosh0ttatdt?asinha 。

９．求曲线x3?3a2y,2xz?a2在平面y?3 与y = 9a之间的弧长。

a?x3a2解 曲线的向量表示为r＝{x,2,}，曲面与两平面y?3 与y = 9a的交

a3a2x??x2a2x4a4点分别为x=a 与x=3a , r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4a2xa4x2a2＝2?，2a2x4x所求弧长为s??3aax2a2(2?2)dx?9a 。 a2x10. 将圆柱螺线r={acost，asint，bt}化为自然参数表示。

?解 r'= { -asint,acost,b}，s =

代入原方程得 r={acossa?b22?t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sbsa?b22sa?b22，

, asina?b22, }

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。 解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos??-?(?)sin?，

??'(?)sin?+?(?)cos?}，|r'|

s=???0=

?2(?)??'2(?)，从?0到?的曲线的弧长是

?2(?)??'2(?)d? 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

??解 r'={ -asint,acost,b},r''={-acost,- asint,0 }

所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0 = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .