内容发布更新时间 : 2024/12/22 11:18:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

中学数学竞赛讲义—极限

数列极限的定义

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列?an?的项an无限地趋近于某个常数a(即an?a无限地接近于0)，那么就说数列?an?以a为极限. 注:a不一定是?an?中的项. 几个常用的极限

1 (1)limC?C(C为常数)；(2)lim=0；(3)limqn?0(q?1).

n??n??n??n两个重要极限

sinx?1??0 (2)lim?1???e (1)limx?0x??x?x?x数列极限的四则运算法则

(n?bn?)a?b； 设数列｛an｝、｛bn｝，当liman?a,limbn?b时，liman??n??n??lim(anbn)?ab；limn??ana?(b?0). n??bbn求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x4?1例1：求极限lim

x?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。

(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求极限

x3?x2例2：求极限lim3

x??3x?1【说明】

?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?1?1x3?x21x【解】lim3 ?lim?x??3x?1x??3?13x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；

??0nn?1ax?an?1x???a0???? (2) limnmm?1x??bx?bx???bmm?10?an??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x2?3?x2?1)

x???【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???

?lim2x?3?x?122x????0

例4：求极限limx?01?tanx?1?sinx 3x【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?lim33x?0xx1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的．．．．．．．．．．．关键

4．应用两个重要极限求极限

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第一个重两个重要极限是limx?0x??n??x?0xxn1要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

?x?1?例5：求极限lim??

x???x?1??【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?分。

x?11??xx22?2?2??x?1??2??1?1???1??e【解】lim? ??lim?1???lim????x?1???x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????2x1，最后凑指数部X1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。

x???x???x?ax????xx

5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~ex?1,

12bx,?1?ax??1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

1?cosx~(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．

xln(1?x)?

x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.

x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求极限lim

x?0tan3x例7：求极限lim2?1sinx?xsinx?xcosx?112x【解】lim ?lim?lim??lim??322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用罗必塔法则求极限

lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求极限lim 2x?0x?0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0??2sin2xsin2x?22lncos2x?ln(1?sinx)cos2x1?sinx 【解】lim?limx?0x?0x22x【说明】

?limsin2x??21??x?02x?cos2x1?sin2????3 x?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

?例10：设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.

x?f(x?t)dt【解】 由于?f(x?t)dt?0xx?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是

0x0x?limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dt0xx?f(u)du0x