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2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分． （1）【2014年上海，理1，4分】函数y?1?2cos2(2x)的最小正周期是 ． 【答案】
? 22???． 42【解析】原式＝?cos4x，T?1??（2）【2014年上海，理2，4分】若复数z?1?2i，其中i是虚数单位，则?z???z? ．
z??【答案】6
【解析】原式＝z?z?1?z?1?5?1?6．
2x2y2（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线y?2px的焦点与椭圆??1的右焦点重合，则该抛物线的准线
95方程为 ． 【答案】x??2
【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程x??2．
2?x（4）【2014年上海，理4，4分】设f(x)??2?x【答案】a?2
【解析】根据题意，2?[a,??)，∴a?2．
x?(??,a)x?[a,??)，若f(2)?4，则a的取值范围为 ．
（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x，y满足xy?1，则x2?2y2的最小值为 ．
【答案】22 【解析】x2?2y2?2?x?2y?22． （6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 ．（结
果用反三角函数值表示）
1【答案】arccos
31【解析】设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，∵S侧?3S底，∴??r?R?3??r2，即R?3r，∴cos??，即母
31线与底面夹角大小为arccos．
3（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C的极坐标方程为?(3cos??4sin?)?1，则C与极轴的交点到极点的
距离是 ．
1【答案】
311【解析】曲线C的直角坐标方程为3x?4y?1，与x轴的交点为(,0)，到原点距离为．
33（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列?an?的公比为q，若a1?lim?a3?a4???an?，则q? ．
n??【答案】5?1 21
a3a1q25?1?1?5??q2?q?1?0?q?【解析】a1?，∵0?q?1，∴q?．
21?q1?q2（9）【2014年上海，理9，4分】若f(x)?x?x，则满足f(x)?0的x的取值
范围是 ． 【答案】(0,1)
【解析】f(x)?0?x?x，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1)． （10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏
散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 ．（结果用最简分数表示） 1【答案】
1581【解析】P?3?．
C1015（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数a,b满足ab?0，集合?a,b???a2,b2?，则a?b? ． 【答案】?1
【解析】第一种情况：a?a2,b?b2，∵ab?0，∴a?b?1，与已知条件矛盾，不符；
第二种情况：a?b2,b?a2，∴a?a4?a3?1，∴a2?a?1?0，即a?b??1． （12）【2014年上海，理12，4分】设常数a使方程sinx?3cosx?a在闭区间
[0,2?]上恰有三个解x1,x2,x3，则x1?x2?x3? ． 7?【答案】
3【解析】化简得2sin(x?)?a，根据下图，当且仅当a?3时，恰有三个交点，
3?7?即x1?x2?x3?0??2??．
33（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量?表示小白玩该游戏的得分．若
E(?)?4.2，则小白得5分的概率至少为 ．
【答案】0.2
【解析】设得i分的概率为pi，∴p1?2p2?3p3?4p4?5p5?4.2，且p1?p2?p3?p4?p5?1，
∴4p1?4p2?4p3?4p4?4p5?4，与前式相减得：?3p1?2p2?p3?p5?0.2，
∵pi?0，∴?3p1?2p2?p3?p5?p5，即p5?0.2．
（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线C:x??4?y2，直线l:x?6． 若对
?????????于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的Q使得AP?AQ?0，则m的取值范围为 ．
16【答案】?
15xP?xQxP?6?【解析】根据题意，A是PQ中点，即m?，∵?2?xP?0，∴m?[2,3]． 22二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对
得5分，否则一律得零分． （15）【2014年上海，理15，5分】设a,b?R，则“a?b?4”是“a?2且b?2”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B
PP【解析】充分性不成立，如a?5，b?1；必要性成立，故选B．
PP（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是
????????PP一条侧棱，Pi(i?1,2,?,8) 是上底面上其余的八个点，则AB?AP, 2, ?, 8)的 Bi(i?1不同值的个数为（ ）
2523?1223?12?P8P714362
A （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】A
????????????????????????????AB乘以APi在AB方向上的投影，而APi在AB方向上的投【解析】根据向量数量积的几何意义，AB?APi等于
????????????
影是定值，AB也是定值，∴AB?APi为定值1，故选A． k（17）【2014年上海，理17，5分】已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y?kx?1（为常数）上两个不同的点，则
?a1x?b1y?1关于x和y的方程组?的解的情况是（ ）
ax?by?1?22 （A）无论k,P1,P2如何，总是无解 （B）无论k,P1,P2如何，总有唯一解
（C）存在k,P1,P2，使之恰有两解 （D）存在k,P1,P2，使之有无穷多解 【答案】B
ab【解析】由已知条件b1?ka1?1，b2?ka2?1，D?11?a1b2?a2b1?a1(ka2?1)?a2(ka1?1)?a1?a2?0，
a2b2∴有唯一解，故选B．
?(x?a)2,x?0,?（18）【2014年上海，理18，5分】设f(x)?? 若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（ ） 1x??a,x?0.?x? （A）[?1,2] （B）[?1,0] （C）[1,2] （D）[0,2]
【答案】D
【解析】先分析x?0的情况，是一个对称轴为x?a的二次函数，当a?0时，f(x)min?f(a)?f(0)，不符合题
意，排除AB选项；当a?0时，根据图像f(x)min?f(0)，即a?0符合题意，排除C选项，故选D． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P?ABC，其表面展开图是三
P3V． 角形PP12P3的各边长及此三棱锥的体积12P3，如图．求?PP?ABC?60?， 解：根据题意可得P1,B,P2共线，∵?ABP1??BAP1??CBP2，
∴?ABP1??BAP1??CBP2?60?，∴?P1?60?，同理?P2??P3?60?，∴?PP12P3是等 222?AB3?． 1232x?a（20）【2014年上海，理20，14分】设常数a?0，函数f(x)?x．
2?a（1）若a?4，求函数y?f(x)的反函数y?f?1(x)；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y?f(x)的奇偶性，并说明理由．
AC边三角形，P?ABC是正四面体，所以?PP12P3边长为4；∴V?P1BP24y?44y?42x?4解：（1）∵a?4，∴f(x)?x，∴x?log2， ?y，∴2x?y?1y?12?44x?4 ∴y?f?1(x)?log2，x?(??,?1)?(1,??)． ……6分
x?12x?a2?x?a（2）若f(x)为偶函数，则f(x)?f(?x)，∴x，整理得a(2x?2?x)?0，∴a?0，此时为偶函， ??x2?a2?a2x?a2?x?a若f(x)为奇函数，则f(x)??f(?x)，∴x，整理得a2?1?0，∵a?0，∴a?1，此时 ???x2?a2?a为奇函数，当a?(0,1)?(1,??)时，此时f(x)既非奇函数也非偶函数． ……14分
B两地连线上的定点C（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A、DB处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米． 设点A、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为?和?．
（1）设计中CD是铅垂方向． 若要求??2?，问CD的长至多为多少（结 ??AC果精确到0.01米）？
B3