内容发布更新时间 : 2024/5/23 21:25:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1. 过点(x0,y0),(x1,y1),...,(x5,y5)的插值多项式P(x)是（）次的多项式 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考查知识点：插值多项式的基本概念 答案：B

2. 通过点(x0,y0),(x1,y1)的拉格朗日插值基函数l0(x),l1(x)满足（） A. l0(x0)?0,l1(x1)?0 B. l0(x0)?0,l1(x1)?1 C. l0(x0)?1,l1(x1)?0 D. l0(x0)?1,l1(x1)?1 考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质 答案：D

3. 设L(x)和N(x)分别是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是r(x)和e(x)，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A.L(x)?C.L(x)?N(x),r(x)?e(x) B.L(x)?N(x),r(x)?e(x) N(x),r(x)?e(x) D.L(x)?N(x),r(x)?e(x)

解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。

4. ?yk??yk?_______ 考查知识点：差分的概念 答案：yk?1?yk?1

5. f(x)?x?x?3x?1,则f[2,2,?,2]和f[2,2,?,2]为 与

74017018根据差商和导数关系f(7)(?)7!f2，2，??，2???1

7!7!f(8)(?)00178f2，2，??，2，2???08!8!??017??

6. 当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4，则f(x)的二次插值多项式为 （拉格朗日插值） 解： 利用二次Lagrange插值公式，这里x0??1,x1?1,x2?2,y0??3,y1?4

y2?4,得

L2(x)?y0l0(x)?y1l1(x)?y2l2(x)

(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?0?4?63

5237?x?x?623??3? 7. 设

f(x)?x2，则f(x)关于节点x0?0,x1?1,x2?2的二阶向前差分为_2_。

考查知识点：各阶前向差分的应用

解析：由节点x0,x1,x2可求出对应的函数值，如下表：

x 0 1 2

f(x) 0 1 4 ?y 1 3 ?2y 2 8. 已知y?f(x)中有f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉格朗日插值多项式。（拉格朗日插值）

解法一（待定系数法）：设L(x)?ax2?bx?c，由插值条件，有

?a?b?c?2??a?b?c?1 ?4a?2b?c?1?解得：a?1/6,b??1/2,c?4/3。 故 L(x)?1214x?x?。 623解法二（基函数法）：由插值条件，有

L(x)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?2??1??1

(?1?1)(?1?2)(1?1)((1?2)(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1) 323114?x2?x? 623

539.设f(x)?x?x?1，取x0??1,x1??0.8,x2?0,x3?0.5,x4?1,作出f(x)关于

x0,x1,x2,x3,x4的差商表，给出f(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式，并给出插值误

差。

考查知识点：牛顿插值公式

解析：差商表为 xi -1 -0.8 0 0.5 1 f(xi) -1 a0 0.16032 1 1.15625 3 f[xi,xi?1] 5.8016 a1 1.0496 0.3125 3.6875 f[xi,xi?1,xi?2] f[xi,xi?1,xi?2,xi?3] f[xi,xi?1,xi?2,xi?3,xi?4] -4.725 a2 -0.567 3.375 2.79 a3 2.19 -0.3 a4

Newton插值多项式：

N3(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)(x?x1)?a3(x?x0)(x?x1)(x?x2)

??1?5.8016(x?1)?4.752(x?1)(x?0.8)?2.79(x?1)(x?0.8)x

R3(x)?f(x)?N3(x)?f[?1,?0.8,0,0.5,x](x?1)(x?0.8)x(x?0.5)

10. 已知函数y?f(x)的函数表如图所示，试列出向后差分表，并写出牛顿的向后差值公

式，用其估计出f(0.45)。 考查知识点：各阶后向差分的运用 x f(x) 解析： 0.0 1.00 0.1 1.32 0.2 1.68 0.3 2.08 0.4 2.52 0.5 3.00 xi 0.0 0.1 F?x? 1.00 1.32 ?y 0.32 ?2y ?3y ?4y ?5y 0.2 0.3 0.4 0.5 1.68 2.08 2.52 3.00 0.36 0.40 0.44 0.48 0.04 0.04 0.04 0.04 0 0 0 0 0 0 h?0.1

N5(X)?N5(X5?th)?N5(0.5?0.1t)=3+0.48t+0.04t(t+1)2

=3+0.5t+0.02t 由x=0.45得t=－0.5

2N5(0.45)?2.755

11. 给出f(x)?lnx的数值表如下，用线性插值及二次插值求ln0.54的近似值 x lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.357765 0.8 -0.223144 解： 选取x0?0.5,x1?0.6,x?0.54代入Lagrange线性插值多项式，得

ln0.54?L1(0.54)?0.54?0.600.54?0.50?(?0.693147)??(?0.510826) 0.50?0.600.60?0.50??0.620219又选取x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,x?0.54代入Lagrange二次插值多项式，得

ln0.54?L2(0.54)?(0.54?0.5)(0.54?0.6)(0.54?0.4)(0.54?0.6)?(?0.916291)??(?0.693147)(0.4?0.5)(0.4?0.6)(0.5?0.4)(0.5?0.6)(0.54?0.4)(0.54?0.5)??(?0.510826)(0.6?0.4)(0.6?0.5)??0.615320932

12.设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式H(x)，使得H(xj)?f(xj),j?0,1,2,H?(x1)?f?(x1)，H(x)以升幂形式给出。(2)写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。

3119273解：f()?，f(1)?1，f()?，f?(x)?x2，f?(1)?

2484821设H(x)?ax?bx?cx?d，H?(x)?3ax?2bx?c

322111?1a?b?c?d??641648?a?b?c?d?1???72981927

a?b?c?d??641648??3a?2b?c?3?2?263233141，b?，c?，d??。

4504502252514326322331故 H(x)??。 x?x?x?22545045025解得：a??3?21919R(x)??(x?)(x?1)2(x?)，其中，???。

1284444

12. 设f(x)在各点处的数据，求f(x)在x=0.36,0.98处的近似值。(用分段插值) i 0 0.30 0.30163 1 0.40 0.41075 2 0.55 0.57815 3 0.65 0.69675 4 0.80 0.87335 5 1.05 1.18885 5xi yi 考查知识点：分段插值

解：分段线性Lagrange插值的公式为

(k)L1(x)?ykx?xk?1x?xk?yk?1xk?xk?1xk?1?xk k?0,1,?,n?1

(0)(0.36)f(0.36)?L1?0.301630.36?0.40.36?0.3?0.410750.3?0.40.4?0.3 ?0.3671 1(4)(0.98)?1.10051 f(0.98)?L114. 已知f?x??shx的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.