内容发布更新时间 : 2024/12/23 4:37:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为
直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆
xaxa22222222?ybyb2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是
x0xa2?y0yb2?1.
??1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切
点弦P1P2的直线方程是7. 椭圆
xa22x0xa?y0yb2?1.
?yb22?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点
2?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?btan12?2.
8. 椭圆
xa22?yb22?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和
A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆
xa2222?yb22?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
kOM?kAB??ba22， 。
xa22即KAB??bx0ay012. 若P0(x0,y0)在椭圆
x0xa2?yb22?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是
?y0yb2?x0a22?y0b22.
xa2213. 若P0(x0,y0)在椭圆
?yb22?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
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xa22?yb22?x0xa2?y0yb2.
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长
轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：
P在左支）
5. 若P0(x0,y0)在双曲线
是
x0xa22222xa?yb?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程
?y0yb2?1.
xa226. 若P0(x0,y0)在双曲线
?yb22?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切
线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是7. 双曲线
xa22x0xa2?y0yb2?1.
?yb22?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任
2意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?bcot12?2.
8. 双曲线
xa22?yb22?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶
点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线
xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB
的中点，则KOM?KAB?xa2222bx0ay0?yb222222，即KAB?bx0ay022。
12. 若P0(x0,y0)在双曲线
方程是
x0xa2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的
?y0yb2?x0a?y0b.
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13. 若P0(x0,y0)在双曲线
程是
xa22xa22?yb22?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方
?yb22?x0xa2?y0yb2.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆
xa22?yb22?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直
xa22线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过椭圆
xa22?yb22?1.
?yb22?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直
线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?xa22bx0ay022（常数）.
3. 若P为椭圆
?yb22?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?ca?c?tan?2cot?2.
4. 设椭圆
xa22?yb22?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上
任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?sin??sin?22?ca?e.
5. 若椭圆
xa?yb22?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0
＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆
xa22?yb22?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，
则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
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