内容发布更新时间 : 2024/10/19 18:16:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第九节 圆锥曲线中的定点、定值问题

[最新考纲] 会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．

考点1 定点问题

直线过定点

1.动直线l过定点问题的基本思路

设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．

2．动直线l过定点问题的解题步骤

第一步：设AB直线y＝kx＋m，联立曲线方程得根与系数关系，Δ求出参数范围；

第二步：由AP与BP关系(如kAP·kBP＝－1)，得一次函数k＝f(m)或者m＝f(k)； 第三步：将k＝f(m)或者m＝f(k)代入y＝kx＋m，得y＝k(x－x定)＋y定．

x2y2

(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)，四点P1(1，1)，

3?3?

P2(0，1)，P3(－1，2)，P4?1，?中恰有三点在椭圆C上．

2??

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．

[解] (1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．

1113

又由a2＋b2＞a2＋4b2知，椭圆C不经过点P1，

1

所以点P2在椭圆C上．

1

2???b2＝1，?a＝4，x22

因此?解得?故椭圆C的方程为4＋y＝1.

213??b＝1.＋＝1，22??a4b(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.

如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标?

分别为?t，

?

?4－t

?，?t，－2??

2?

4－t

?，则k1＋k2＝2?

2?

4－t2－2

－2t4－t2＋2

＝－1，2t

得t＝2，不符合题设．

从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．

x22

将y＝kx＋m代入4＋y＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－y1－1y2－1

而k1＋k2＝x＋x

1

2

，x1x2＝2. 4k＋14k＋1

2

8km

4m2－4

kx1＋m－1kx2＋m－1

＝＋ x1x22kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）＝.

x1x2由题设k1＋k2＝－1，

故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.

4m2－4－8kmm＋1

即(2k＋1)·2＋(m－1)·2＝0，解得k＝－2.

4k＋14k＋1当且仅当m＞－1时，Δ＞0，

2

m＋1

于是l：y＝－2x＋m， m＋1

即y＋1＝－2(x－2)， 所以l过定点(2，－1)．

本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一

x0（a2－b2）

点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(，a2＋b2y0（b2－a2）

)． 22

a＋b

本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如kAP·kBP＝定值，kAP＋kBP＝定值)，直线AB依然会过定点．

[教师备选例题] 过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F的坐标为(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0， 2k2＋4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝k2，x1x2＝1， 由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， 2k2＋4∴k2＝6，∴k2＝1，即k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±(x－1)． 3