内容发布更新时间 : 2024/12/22 10:49:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第1课时 椭圆及其标准方程

最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知 识 梳 理

1.椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 对称性 顶点 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0)， 性质 A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) B1(0，－b)，B2(0，b) 轴 焦距 离心率 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0，1) ac2＝a2－b2 a，b，c的关系 [常用结论与微点提醒]

2b1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为，称为通径.

2

a

ca2－b2

2.椭圆离心率e＝＝＝aab2

1－2. a3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )

(3)方程mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )

2

2

x2y2y2x2

(4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相同.( ) abab解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.

ca2－b2(2)因为e＝＝＝aab?b?1－??，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.

a?a?

2

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( )

94A.

13 3

B.5 3

2C. 3

5D. 9

x2y2

解析 由已知，a＝3，b＝2，则c＝9－4＝5，所以e＝＝答案 B

3.(2018·张家口调研)椭圆A.(±3，0) C.(±9，0)

＋＝1的焦点坐标为( ) 1625

B.(0，±3) D.(0，±9)

2

2

2

ca5. 3

x2y2

解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c＝a－b＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)，故选B. 答案 B

1

4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )

2A.＋＝1 34C.＋＝1 42

x2y2x2y2

B.＋＝1 43D.＋＝1 43

x2y2

x2y2

c1x2y2222

解析 由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝a－c＝3.故所求椭圆C的方程为＋＝

a243

1. 答案 D

5.(选修1－1P42A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，

54

x2y2

F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.

解析 设P(x，y)，由题意知c＝a－b＝5－4＝1，

所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把

2

2

2

y＝±1代入＋＝1，得x＝±

5

4

x2y2

1515?15?，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为?，1?或22?2?

?15?

?，－1?. ?2?

?15??15?答案 ?，1?或?，－1?

?2??2?

考点一 椭圆的定义及其应用

【例1】 (1)(选修1－1P42A7改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点

Q的轨迹是( )

A.椭圆 C.抛物线

2

B.双曲线 D.圆

(2)椭圆＋y＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( ) 25A.5

B.6

C.7

D.8

x2

解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|. 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.

又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.

(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8. 答案 (1)A (2)D