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华东理工大学2008–2009学年第二学期

《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2009.07

开课学院： 理学院， 专业：大面积， 考试形式：闭卷， 所需时间120分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题号 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分

一、（8

分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

?1,|y|?x,0?x?1f(x,y)??，求相关系数?XY。

其他?0,解：EX??xdx?dy??2x2dx?0?x01x11x121，EX2??x2dx?dy??2x3dx?

0?x032DX?EX2?(EX)2?1x0?x1 181x0?xEY??dx?ydy?0，EY2??dx?y2dy?1x0?x11，DY?EY2?(EY)2?， 66EXY??xdx?ydy?0，cov(X,Y)?EXY?EXEY?0，

?XY?cov(X,Y)DXDY?0

二、（共8分） 投掷一枚非均匀的骰子(点数分别为1,2,3,4,5,6),设出现1点的概

率为p (0

(1) 若连续投掷100次, 求出现的点数的总和X的数学期望EX, （本小题4分） (2) 若投掷四次，出现的点数分别为 1点, 3点, 1点 和 1点, 求参数p的极大似然估计. （本小题4分）

解: (1) 设?为投掷此骰子出现的向上的一面点数,则

P{??1}?p, P{??k}?(1?p)/5 (k=2,3,4,5,6).

E??1?p?(2?3?4?5?6)?(1?p)/5= 4-3p --2”

X=

??i?1100i (其中?i为第i次出现的点数)

100i?1 故 EX=

?E?i=100(4-3p)=400-300p --2”

(2) L(p)?p?(1?p)/5?p?p?p/5?p/5 --2” 由L(p)??0,得 p?0.75. --2”

34?4(1?x)y0?x?1,0?y?1三、设（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)??

0其他?（1） 判断X与Y是否互相独立,并说明理由,

（2） 求Z=X+Y的概率密度. （13分）

1解：（1）当0

0其他?1 当0

?2y0?y?1fy(x)?? —2”

0其他? ?所有的x,y?(??,??)，对于f?x,y??fx(x)fy(y)都成立

?X与Y互相独立 —2”

?? （2） fz(z)????fx(x)fy(z?x)dx —2”

?z??2(1?x)?2(z?x)dx0?z?1?0?1???2(1?x)?2(z?x)dx1?z?2 —2” ?z?10其他????z2?4?[ z?(1?z)x?x]0?z?1?0?1 ??4?[ z?(1?z)x?x2]1?z?2

?z?10其他????2320?z?1?-3z?2z?8?2 ??z3?2z2?1?z?2 —3”

3?30其他???四、 （共12分）设总体?的概率密度为

?6(??2x???3x2)0?x?? f(x)??

0其他??，Xn）为取自总体的样本，求： （X1，X2，?，并判断??是否为?的无偏估计？（本小题5分）（１）参数?的矩法估计?

（２）当n=2000时，根据中心极限定理求X???101 ?的概率 （本小题7分）

200? 解：（１）E?????2?32?xf(x)dx??6x(?x??x)dx?0?2

??2X —3” 由E??X得：???2EX?2E???，故??为?的无偏估计 —2” E????2 （2） E????22?2?32?xf(x)dx??6x(?x??x)dx?032? —2” 10 故D??E??(E?)?0.3??0.25?? 根据中心极限定理：

222212? —2” 20P{X?1012?}?P{200?2/200020X??101???2} ?200?220/2000 ??(1)?0.841 —3”

五、 假设某班同学的高等数学成绩服从正态分布N(?,?2)，根据随机抽取的25名同学的成绩算得样本均值x?71（分），样本标准差s?11（分），在显著性水平??0.05下，能否认为该班高数的成绩达到了良，即??75分？ （8分）

解： H0:??75, H1:??75 —2” 在H0为真情况下有： T?X??0Sn?1n~t(n?1)

代入观测值得 T?71?7525??20/11??1.8182 —3”

11 H0的拒绝域为W1?(??,?t1??(n?1))?(??,?1.711) T?W1，故拒绝H0，即可以认为该班成绩没有达到了良。 —3”

六、选择题（每题３分，共27分）

1. 设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0，P(B)>0，则下列关系成立的是( Ｂ ). (A) A，B相互独立, (B) A，B不相互独立,

(C) A，B互为对立事件, (D) A，B不是互为对立事件

2. 零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件，若第2次取到的是合格品的概率为P2，第3次取到的合格品的概率为P3，则（ Ｃ ）.

3 (B) P2?P3 (A) P2?PP3 (D) 因未指明抽取方式，P2与3的关系无法确定 (C) P2?P

3. 已知P(B)?0,且P{(A1?A2)|B}?P(A1|B)?P(A2|B), 则（ Ｄ）

（Ａ）P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2), （Ｂ）P{(A1?A2)|B}?P(A1|B)?P(A2|B), （Ｃ）P(A1B?A2B)?P(A1|B)?P(A2|B), （Ｄ）P(A1A2?B)?P(A1A2)?P(B)

4. 把10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（ C ）．

??5?10??1??????6???， (B) （A） ?5??5?5??1???????6???10，

??1?10?1??1???????6??? (C)

5??1?5?1??1???????6???， (D)

10

5. 连续型随机变量X1与X2互相独立，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（ A ）.

（A）F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数, （B）f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度, （C）F1(x)?F2(x)必为某一随机变量的分布函数, （D）f1(x)?f2(x) 必为某一随机变量的概率密度.

?是?的无偏估计，且D（??）>0，则（ Ｂ ） 6. 设???? 不是?的无偏估计, （B） ???? 是否为?的无偏估计无法判断, （C） ??????. （D） 当样本容量n??时, 有 ????是?的无偏估计, （A） ?2222227. 设二维随机向量(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?), 则随机变量X+Y与X-Y不相关的充要条件为（ D ）.

（A） EX222?EY2， （B） EX2?(EX)2?EY2?(EY)2，

22???12 (C) ?1??2, (D) .

8. 已知(X1,X2,???,Xn)为取自总体Ｘ的样本，且总体的期望为a,方差为b

2(b?0)， 则根据中心极限定理有（ Ａ ）.

（Ａ）limP{i?1n???Xni?nan??bn?2}?0.977， （Ｂ）limP{i?1n?Xni?na?2}?0.977,

b/n（Ｃ）limP{i?1n???Xni2?nan??bn?2}?0.977， （Ｄ）limP{i?1?Xi?na?2}?0.977

b2/n