内容发布更新时间 : 2024/5/7 0:07:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数学模型

线性代数在数学建模中的应用举例

1 基因间“距离”的表示

在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率

爱斯基摩人f1i 0.2914 0.0000 0.0316 0.6770 1.000 班图人f2i 0.1034 0.0866 0.1200 0.6900 1.000 英国人f3i 0.2090 0.0696 0.0612 0.6602 1.000 朝鲜人f4i 0.2208 0.0000 0.2069 0.5723 1.000 A1 A2 B O 合计 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。

解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记xki?4fki.由于对这四种群

2?1.这意味着下列四个向量的每个都体的每一种有?fki?1，所以我们得到?xkii?14i?1是单位向量.记

?x11??x21??x31??x41??x12??x22??x32??x42??,a3???,a4???.a1???,a2???x13??x23??x33??x43?????????x14x24x34x44????????数学建模案例分析 1

数学模型

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1和a2之间的夹角记为θ，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得

cos??a1?a2

而

?0.5398??0.3216??0.0000??0.2943??,a2??. a1???0.1778??0.3464??????0.8228??0.8307?s?a1?a2?0.9187故 co?

得 ??23.2°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.

表1.2基因间的“距离”

爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人 16.8° 20.4° 19.6° 0° 由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.

2 Euler的四面体问题

问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.

解 建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为l,m,n,p,q,r.由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量OA,OB,OC组成右手系时，以它们为棱的平行

数学建模案例分析

2

???数学模型

1

六面体的体积V6的 .而

6

V6?OA?OB?OC?a2a3a1b1b2b3c1c2. c3??a1b1b2b3c1c2. c3于是得 6V?a2a3将上式平方，得

a136V2?a2a321b1b2b321c1a1c2?a2c3a321b1b2b3c1c2c3a1a3?b1b3?c1c3a2a3?b2b3?c2c3.222a3?b3?c3a?b?c?a1a2?b1b2?c1c2a1a3?b1b3?c2c3a1a2?b1b2?c1c2222a2?b2?c2a2a3?b2b3?c2c3

根据向量的数量积的坐标表示，有

OA?OA?a12?b12?c12,OA?OB?a1a2?b1b2?c1c2,222OA?OC?a1a3?b1b3?c1c3,OB?OB?a2?b2?c2 22OB?OC?a2a3?b2b3?c2c3,OC?OC?a3?b32?c3. 于是

OA?OA36V2?OA?OBOA?OBOB?OBOA?OCOB?OC. （2.1）

OA?OCOB?OCOC?OC由余弦定理，可行

p2?q2?n2OA?OB?p?q?cos??.

2同理

p2?r2?m2q2?r2?l2OA?OC?,OB?OC?.

22将以上各式代入（2.1）式，得

数学建模案例分析 3