内容发布更新时间 : 2024/12/27 13:27:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

矩阵的初等变换及应用 内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一 矩阵的概念

定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵

二 矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);

(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);

(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1. 初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性 ; (2) 对称性 若,则; (3) 传递性 若,,则.

三 矩阵初等变换的应用

1. 利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形

2. 利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ，

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 .

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.

同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩阵. 即

.

3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)

为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩