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2012年高考数学总复习专题训练 概率统计与排列组合二项式定理

安徽理

（12）设(x??)???a??a?x?a?x??La??x??，则 .

11

（12)C20【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】

1010a10?C21(?1)11??C21，

1111a11?C21(?1)10?C21，所以

????????????a???a???C???C???C???C???C???C??.

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别

p?,p?,p?p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中

q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；

（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1?p1)(1?p2)(1?p3)，

所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为

3

X 1 2

P

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有

3?2q1?q2?q1q2?3?2p1?p2?p1p2,……………………（*）

事实上，??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2) 即（*）成立.

（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为3?(q1?q2)?q1q2?q1,若交换前两人的

派出顺序，则变为3?(q1?q2)?q1q2?q1,.由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

（ii）也可将（II）中所求的EX改写为3?2q1?q2?q1q2，或交换后两人的派出顺序，

则变为3?2q1?q3?q1q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3?q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当(q1,q2,q3)?(p1,p2,p3)时，EX达到最小. 即完成任务概率大

的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

安徽文(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

????（A） (B) (C) (D)

?????（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点

31的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为?.故选D.

155（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万236 246 257 276 286 吨） （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y?bx?a;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. （20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 年份—2006 －4

－2

0

2

4

需求量—257 －21 －11 0 对预处理后的数据，容易算得

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

即y?6.5(x?2006)?260.2. ①

?19 29

（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

6.5(2012?2006)?260.2?6.5?6?260.2?299.2（万吨）≈300（万吨）.

北京理

12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)

【解析】个数为24?2?14。

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（1）如果X?8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果X?9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。

1（注：方差s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?L?(xn?x)2]，其中x为x1，x2，…，xn的平均数）

n（17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 方差为

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”

21所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=?.

1681111同理可得P(Y?18)?;P(Y?19)?;P(Y?20)?;P(Y?21)?.

4448所以随机变量Y的分布列为：

Y P

17

18

19

20

21

EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）

11111=17×+18×+19×+20×+21×

84448=19 北京文

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓