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2017年全国高中数学联赛A卷

一试

一、填空题

1.设f(x)是定义在R上的函数.对任意实数x有f(x?3)?f(x?4)??1.又当0?x?7时.f(x)?log2(9?x).则f(?100)的值为__________.

2.若实数x,y满足x2?2cosy?1.则x?cosy的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系

x2y2??1.FxOy中.椭圆C的方程为:910为C的上焦

点.A为C的右顶点.P是C上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC中.AB=1.AP=2.过AB的平面α将其体积平分.则棱PC与平面α所成角的余弦值为________.

6.在平面直角坐标系xOy中.点集K??(x,y)x,y??1,0,1?.在K中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为

5的概率为__________.

7.在?ABC中.M是边BC的中点.N是线段BM的中点.若?A??.?ABC的面

3积为3.则AM?AN的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列?an?,?bn?满足：a10?b10?2017.对任意正整数n.有an?2?an?1?an.bn?1?2bn.则a1?b1的所有可能值为__________. 二、解答题

9.设k,m为实数.不等式x2?kx?m?1对所有x??a,b?成立.证明：b?a?22.

10.设x1,x2,x3是非负实数.满足x1?x2?x3?1.求(x1?3x2?5x3)(x1?x23?x3)的最5小值和最大值.

11.设复数z1,z2满足Re(z1)?0.Re(z2)?0.且Re(z12)?Re(z22)?2（其中Re(z)表示复数z的实部）.

. .

（1）求Re(z1z2)的最小值； （2）求z1?2?z2?2?z1?z2的最小值.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试

一.如图.在?ABC中.AB?AC.I为?ABC的内心.以A为圆心.AB为半径作圆?1.以I为圆心.IB为半径作圆?2.过点B,I的圆?3与?1,?2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：BR?CR

二.设数列?an?定义为a1?1.an?1???an?n,an?n,?an?n,an?n,n?1,2,?.求满足ar?r?32017的正整数r的个数.

三.将33?33方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设m,n均是大于1的整数.m?n.a1,a2,?,an是n个不超过m的互不相同的正整数.且a1,a2,?,an互素.证明：对任意实数x.均存在一个i(1?i?n).使

. .

得

aix?2xm(m?1).这里

y表示实数y到与它最近的整数的距离.

2017年全国高中数学联赛A卷一试答案

1.

2.

3.

4.

. .