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空间向量在立体几何中的应用

题组一

一、填空题

1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶ABCD?A1B1C1D1的

2容积是V，里面装有体积为V的水，放在水平的

3B1A1C1D1地面上（如图所示）. 现以顶点A为支撑点，将铁 桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点A1处流出时， 棱AA1与地面所成角的余弦值为

答案

BADC22 112. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足|PA?PB|?4，则点P的轨迹 是 . 答案：以AB为直径的圆； 二、简答题

3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—

A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。 （I）求证：C1D//平面ABB1A1；

（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。

答案 （I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又CC1?面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，

…………2分

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD?面ABB1A1，AB?面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分 所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1 （II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD， 所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，

在?ADA1中，由已知可得A1D?…………4分

…………5分

3,

所以D(0,0,0),A1(0,0,3),A(1,0,0),C1(?1,1,3)，

B1(0,1,3),D1(?1,0,3),B(1,1,0),

BD1?(?2,?1,3,) …………6分

因为A1D⊥平面ABCD， 所以A1D⊥平面A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又B1D1⊥A1C1，

所以B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0） 设BD1与n所成的角为?， 则cos??…………7分 …………8分

n?BD1|n||BD1|??33??,

42834

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为. （III）解：平面A1C1A的法向量为m?(a,b,c)

…………9分

则m?A1C1?0,m?A1A?0, 所以?a?b?0,a?3c?0

令c?3,可得m?(3,3,3) …………11分 则cos?m,n??m?n642??.

|m||n|722142. 7…………12分

所以二面角D?A1C1?A的余弦值为

4．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形ABC边长2，CD为AB边上

的高，E、F分别为AC、BC中点，现将?ABC沿CD翻折成直二面角A?DC?B，如图

②

(1)判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由 (2)求二面角B?AC?D的余弦值 (3)求点C到面DEF的距离

图 ① 图 ②

答案 解：（1）平行（证明略）

（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为

21 721 7（３）VC?DEF?VE?CDF，可得点C到面DEF的距离为

5．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） （本题满分13分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点. （1）求异面直线AC1与B1B所成的角的余弦值； （2）求证：AC1//面B1CD； （3）求证：A1B?面B1CD

答案 5. 解：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中 BB1//CC1