内容发布更新时间 : 2024/6/8 18:45:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1 弯曲问题的分析过程： 弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 解决刚度问题 尽量从理论上分析 —— 一般 然后实验上验证 —— 个别 2 拉压 扭转 弯曲 伸长量 转角 挠度deflection 挠度 转角rotation 转角 工程上的梁变形问题不容忽视 ?影响使用 影响使用 ?引发破坏 引发破坏 ?产生不安全感 产生不安全感 ?减少冲击、振动 减少冲击、 减少冲击 ?利用变形作为开关 利用变形作为开关 提高性能 3 梁的强度 梁的刚度 保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 保证梁不发生过大的变形 过大变形的危害: 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。 车床主轴变形过大，影响其加工精度。 例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。 高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。 4 第六章 §6–1 概述 弯曲变形 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 §6–5 §6–6 简单超静定梁的求解方法 简单超静定梁的求解方法 梁的刚度校核 如何提高梁的承载能力 5 §6－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； 研究目的： 对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。 解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。 6 康奈尔大桥 法国最高的大桥 7 房屋的横梁 8 天线 9 原子力显微镜探头 流体机械中的悬 臂阀门 10 梁 的 弯 曲 变 形 实 验 11 一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 表示。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 挠度 表示 同向为正，反之为负。 与 w 同向为正，反之为负。 C v C1 θ dx dw P x θ 2.转角： 2.转角：横截面绕其中性轴转 转角 动的角度。 表示， 动的角度。用θ 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 针转动为正，反之为负。 f 挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： 其方程为： w =w(x) 小变形 三、转角与挠曲线的关系： θ = dw 转角与挠曲线的关系： tg dx θ < 1o (0.0175rad ) ? θ = w' (1) 12 13 14 §6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 15 一、挠曲线近似微分方程 M z ( x) = ρ EI z 1 (1) w M>0 由高等数学的知识： w \小变形 =± ≈ 3 ρ ( x) (1 + w '2 ) 2 x ± w \∴ w \ EIz M (x ) w\式（2）就是挠曲线近似微分方程。 就

是挠曲线近似微分方程。 16 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： EIw\二、求挠曲线方程（弹性曲线） 求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分 EIw\( ∫ ( M ( x ))d x )d x + C1 x + C 2 2.位移边界条件 P A C B D 17 P 支点位移条件： wA = 0 连续条件： 光滑条件： 讨论： 讨论： wB = 0 wC ? = wC + wD = 0 θD = 0 = θC右 或 写 成 wC 左 = wC 右 或写成 θC ? = θC+ θC 左 ①适用于小变形情况

下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 件）确定。 确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 18 梁的边界条件 固定铰支座和可动铰支座 固定端自由端 滑动固定端自由端 固定和可动铰 支座 固定端 滑动固定端 自由端 y=0 y=0 y= ~ y= ~ θ=~ θ=0 θ=0 θ= ~ Q= ~ Q= ~ Q=0 Q=0 M=0 M= ~ M= ~ M=0 19 位移条件 静力条件 [例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 (1),解: (1), 建立坐标系并写出弯矩方程 M ( x) = P ( x ? L) f L P x (1) x 写出微分方程并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIf ′′ = M ( x) = P( x ? L) 1 3 EIf (0) = ? PL + C2 = 0 6 1 2 EIθ (0) = EIf ′(0) = PL + C1 = 0 2 1 2 1 3 ∴ C1 = ? PL ; C2 = PL 2 6 20 1 EIf ′ = P( x ? L) 2 + C1 2 1 EIf = P( x ? L)3 + C1 x + C2 6 f L P x 写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角 θ max PL2 = θ ( L) = 2 EI f max PL3 = f

( L) = ? 3EI 21 (2),解： 建立坐标系并写出弯矩方程

(0 ≤ x ≤ a ) ( a ≤ x ≤ L) f a L (2) P x 写出微分方程并积分 P ( x ? a ) (0 ≤ x ≤ a )

应用位移边界条件求积分常数 f

a L P x 1 3 EIf (0) = ? Pa + C2 = 0 6 1 2 EIθ (0) = Pa + C1 = 0 2 θ (a ? ) = θ (a + ) f (a ? ) = f (a + ) ∴ C1 = D1 ∴ C1a + C2 = D1a + D2 1 1 2 ∴ C 1 = D1 = ? Pa ; C 2 = D 2 = Pa 3 2 6 23 写出弹性曲线方程并画出曲线

) 最大挠度及最大转角 a P L x θ max f max Pa 2 = θ (a) = 2 EI Pa 2 = f ( L) = ? [ 3L ? a ] 6 EI 24 例：如图所示的梁，试计 算其挠曲线 A 解：首先计算梁的弯 矩，绘制弯矩图， a AB: 0 ≤ x ≤ 2 q=10kN/m B a＝ ＝ 2m 20kN?m (-) B P＝20kN D a E BD: 2 ≤ x ≤ 4 qx 2 M (x) = ? 2 A M ( x ) = ?2q + 15( x ? 2) DE: 4 ≤ x ≤ 6 1 M ( x ) = ?2q + 30 ? q( x ? 4 ) 2 D (+) 10kN?m E 25 P＝20kN 对M(x)作两次积分，得 到分段的挠曲线方程： A AB: 0 ≤ x ≤ 2 q=10kN/m B a a＝ 2m D a E BD: 2 ≤ x ≤ 4 1 4 f ( x ) = ? qx + c0 x + c1 24 2 5 f ( x ) = ?15 x + x3 + c2 x + c3 2 DE: 4 ≤ x ≤ 6 5 3 2 f ( x ) = ? x + 10 x + c4 x + c5 6 26 弯矩图三段， 弯矩图三段，共6个 个 积分常数 需6个边界条件和 个边界条件和 连续条件 A P＝20kN q=10kN/m B a a＝ 2m D a E B点 f B = 0, θB+ = θB? ： D点 f D+ = f D? , ： E点： E = 0 f θD+ = θD? df 同时，利用 θ = dx 将边界条件带入挠曲线方 程，就可以确定6个积分 常数 27 积分法求梁变形的基本步骤： 积分法求梁变形的基本步骤： ①写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 写出弯矩方程； 要分段写出, 要分段写出 或者用奇异函数表示。 ②由

挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、 ③利用边界条件、连续条件确定积分常数 利用边界条件、 段写出弯矩方程， 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数 28 积分法求梁变形 ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 适用于小变形、线弹性材料、 ②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件） 连续条件）确定 使用范围广， ④优点——使用范围广，精确； 缺点 优点 使用范围广 精确； 缺点——计算较繁 计算较繁 29 §6-3 按叠加原理求梁的挠度与转角 按叠加原理求梁的挠度与转角 一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 载荷叠加： 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 θ ( P、P2、 Pn ) = θ1 ( P ) + θ2 ( P2 ) +?????? +θn ( Pn ) ?????? 1 1 f ( P、P2、 Pn ) = f1 ( P ) + f 2 ( P2 ) + ?????? + f n ( Pn ) ?????? 1 1 二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 结构形式叠加（逐段刚化法）： 30 31 P A C a P A a q B [例4] 按叠加原理求A点转角和C 点挠度。 解、①载荷分解如图 ②由梁的简单载荷变形表， = B 查简单载荷引起的变形。 θ q B PA = Pa 4 EI 2 f PC f qC Pa 3 = 6 EI + A qa 3

θ qA = 3 EI 5qa 4 = 24 EI 32 P A C a P A a q B Pa θ PA = 4 EI 2 f PC f qC Pa 3 = 6 EI qa 3 θ qA = 3 EI 5qa 4 = 24 EI = B ③叠加 θ A =θ PA +θ qA A q B a2 = ( 3 P + 4 qa ) 12 EI + 5 qa 4 Pa 3 fC = + 24 EI 6 EI 33 [例5] 按叠加原理求C点挠度。解： 载荷无限分解如图 q0 C x 0.5L f f dPC b dx 0.5L x 2 bq 0 dP =q ( x )d x= db L 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 ( d P )b (3 L2 ? 4 b 2 ) = 48EI 叠加 q 0 b 2 (3 L2 ? 4 b 2 ) = db 2 4 E IL 0 .5 L f qC =∫ f dPC = 0 ∫ q 0 b 2 (3 L2 ? 4 b 2 ) q 0 L4 db = 2 4 E IL 240 EI 34 [例6] 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 L1 A f L1 A 刚化AC段 刚化 段C L2 C f P B x f = f1 + f 2 等价 C f 等价 A f 35 = L2 P B L2 刚化BC段 刚化 段 L2 P Bx f1 + L1 A P B L1 C P L2 M B x C f2 §6-4 梁的静不定度 简单超静定梁的求解方法 简单超静定梁的求解方法 多与约束：多余维持平衡所必需的约束， 多与约束：多余维持平衡所必需的约束，与其相应的支座反 力或是支座反力偶矩统称为多余支座反力。静不定度： 力或是支座反力偶矩统称为多余支座反力。静不定度：多与 约束或是多余支座反力的数目。 约束或是多余支座反力的数目。 静不定度 为1度 静不定度 为2度 36 静不定梁分析 f A EI L q0 1、处理方法：变形协调方程、 x 物理方程与平衡方程相结合，求 B 全部未知力。 = MA A L q0 B 解： 建立静定基 确定超静定次数，用反力 代替多余约束所得到的结构— q0 A B L RB —静定基。 37 q0 A L B RB 几何方程——变形协调方程 f B = f Bq + f BR B =0 物理方程——变形与力的关系 = B RB q0 A B A R B L3 qL4 f Bq = ? ; f BR B = 8 EI 3 EI 补充方程 + qL4 RB L3 ? =0 8 EI 3EI 变形等） 3qL ∴RB = 8 求解其它问题（反力、应力、 38 f A EI L C EA LBC q0 x B RB q0 [例10]