内容发布更新时间 : 2024/12/23 8:44:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.3.1算法案例 辗转相除法与更相减损术

授课日期: 姓名: 班级:

学习目标 知识与技能

1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 过程与方法

在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，。 情态与价值

通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 学习重难点

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 使用说明及学法指导:

1、先阅读教材34—37页认真思考,在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。

2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升

4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题。平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。

知识链接:研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪三种？

在程序设计中基本的算法语句有哪五种？

学习过程:

A问题1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？

A问题2.接着进一步研究问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 B问题3.例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）

以上我们求最大公约数的方法就是 。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在

公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；

第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；

第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；

……

依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。 练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）

B问题4:该算法的程序框图如何表示？

B问题5.更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.

练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）

B问题6.比较辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

C问题7.更相减损术计算的程序框图及程序

课堂测试

A1.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数.

（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119