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高等数学（一）教案 期末总复习

第八章 向量与解析几何

向量代数 定义与运算的几何表达 定义 向量 模 ????有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) ???ax?prjxa,ay?prjya,az?prjza a?ax2?ay2?az2 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? aa?0，则ea? a设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ea?(ax,ay,az)ax?ay?az222 方向余弦 aaacos???x，cos???y，cos???z aaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 a?b?axbx?ayby?azbz ia?b?axbxjaybykaz bzc?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直 定理与公式 垂直 平行 a?b?a?b?0 a//b?a?b?0 a?b?axbx?ayby?azbz?0 axayaza//b??? bxbybzcos??axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bzprjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222222222交角余弦 a?b两向量夹角余弦cos?? ab向量a在非零向量b上的投影 投影 prjba?acos(a?b)?a?b b 平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式

Ax?By?Cz?D?0 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0- 2 -

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点法式 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 x?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1点向式 三点式 x2?x1x3?x1参数式 x?x0y?y0z?z0 ??mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0 ??x1?x0y1?y0z1?z0截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1 ??A2B2C2ABC?? mnp两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin?? ?x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?切“线”方程：切向量 x?x0y?y0z?z0 ??????(t0)?(t0)?(t0)空间(??t??) 曲线 ?：?T?(??(t0),??(t0),??(t0)) 法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 切“线”方程：?y??(x)切向量 ??T?(1,??(x),??(x)) ?z??(x)x?x0y?y0z?z0 ????1?(x0)?(x0)法平“面”方程： (x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 法向量 空 间F(x,y,z)?0曲面 ?：切平“面”方程： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)?n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))?n?(?fx(x0,y0),?fy(x0,y0),1) ?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程： z?f(x,y) fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0

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或 ?n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1 第九章 多元函数微分法及其应用

（一） 基本概念

1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 2、 3、 4、 5、

多元函数：z极限：连续：

(x,y)?(x0,y0)?f(x,y)，图形：

limf(x,y)?A

f(x,y)?f(x0,y0)

(x,y)?(x0,y0)lim偏导数：

f( x0??x,y0)?f( x0,y0)fx(x0,y0)?lim

?x?0?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)fy(x0,y0)?lim ?y?0?y6、

方向导数：

其中

?f?f?f?cos??cos??l?x?y7、

?,?为

l的方向角。

??梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。

8、

?z?zdz?dx?dy

全微分：设z?f(x,y)，则

?x?y1 2 （二） 性质

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

偏导数连续 充分条件 函数可微 必要条件 2 4 偏导数存在 定义 3 函数连续 2、 3、 1） 2）

闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 微分法

定义： 复合函数求导：链式法则

u

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