内容发布更新时间 : 2024/12/22 17:58:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 正弦定理
【教学目标分析】 知识与技能
（1）通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法。 （2）通过正弦定理在实际生活中的应用，提高分析建模的能力，并掌握一些测量方法和常识。 过程与方法
从已有的知识出发, 探究在任意三角形中，边与其对角的关系，通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。 情感、态度、价值观
（1）通过实际问题引例，探索发现知识，并讨论了实际问题中的应用，体现了数学来源于实际，又服务于实际的思想。
（2）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。 【教学重点与难点 】
重点：正弦定理的探究，正弦定理在实际中的应用 难点：正弦定理的推导及应用 【教材及教学内容分析 】
本节内容为普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》（人教A版）第一章第一节，是在初中解直角三角形和必修4三角函数知识基础上的延伸，是三角函数知识在具体数学问题及生产、生活实际问题中的应用，因此具有十分重要的的价值。
本节课是〈正弦定理〉的第一课时，主要任务是引入证明正弦定理并体会定理在实际中的简单应用，因此，“观察发现---归纳猜想---推理论证---实践应用”这一数学研究方法就是本节的主线。以此来培养学生认真观察、大胆推测、善于思考、勇于创新的精神，让学生以一名数学研究者的身份来发现问题、提出问题、探索问题和解决问题，在思考、探索的
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过程中品味成功的喜悦，增强学习的信心，激发学习的兴趣，因此把本节课设计为“探究课”最合适不过了，引导我们的学生以数学家的身份、严谨的治学态度来研究数学，训练思维、提高能力，为将来的继续深造打下良好的基础。 【学生情况分析】
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，又在必修4中学了三角函数的相关知识，已形成初步的知识框架，有了学习正弦定理的认知基础。而正弦定理是研究任意三角形边角和相关量的重要定理之一，本节内容重在强调定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学应用数学的兴趣和学习数学的主动性。 【教学媒体设计】
1.多媒体辅助教学：充分利用多媒体教学课件的动态演示效果和直观性，帮助学生感知和理解射影的概念，并增强课堂学习的趣味性；同时增加课堂容量。
2.学案：充分发挥学案的导学作用，真正做到“恰如其分”又“恰到好处”，，让学生以主体的身份参与课堂学习，获得实实在在的提高。 【学法设计】
指导学生掌握“观察—类比—猜想—证明—应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，从学生思维的“最近发展区”入手，用已有知识解决位置问题，探求未知世界。让学生在问题情境中学习，观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力， 【教学过程】 一、问题呈现
A 如图，小明与北塔隔湖相对，为测量出北塔的高度，小明在岸边选取两点B、C（B、C与塔身处于同一竖直平面），测得BC的距离是a，北塔在B、C两处的仰角分别为?,?,他如何计算塔高AD？
D （设计意图：数学源于现实，从学生身边的实际问题引入，激发学生学习的兴趣。体现了数学的应用价值，使本节课自然入题。 ）
B C
2
二、定理探究
1、 观察：
A在直角三角形ABC中，内角A, B, C的对边的长分别a,b,c.
bc则各角的正弦如何表示？
sinA= ,sinB= ,sinC= =
CaBc= = =
（设计意图：激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。这为下一步证明树立信心，不断地使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般的思维规律。） 2、猜想：
abc??可以看到，结论sinAsinBsinC非常有特征、有规律，那么这个结论具不具备普
遍性，在非直角三角形中是否也成立呢? 请考察以下各个三角形的边角是否满足上述关系。
(1)a?1,b?1,c?1.A?B?C?60.
0a?sinA ，
b?sinB，
c?sinC
(2)a?2,b?6?2,c?1.A?450,B?1050,C?300. 2 ，
a?sinAb?sinB，
c?sinC
(3)a?3,b?3,c?33.A?300,B?300,C?1200.
a?sinA ，
b?sinB，
c?sinC
0(4)a?42,b?43,c?26?22.A?450,B?600,C?75.
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a?sinA ，
b?sinB，
c?sinC
从以上几个例子我们可以看出，无论是锐角三角形还是钝角三角形中，边角关系的结论都是成立的。要想将猜想转化为定理，需要严格的理论证明，如何证明你猜想的结论呢?(很自然引导学生证明要分锐角和钝角两种情况进行)并且教师利用引导性的语言提示学生可以通过做高转化为直角三角形的方法来证明。
（ 设计意图：引导学生利用分类讨论的思想，通过严格的推理证明来论证自己的猜想，养成严谨治学的数学品质，引导学生利用转化思想，通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，启发学生利用已有的知识解决新的问题。 ） 3、证明：
（1）直角三角形（已证） （2）锐角三角形
证明：（1）过点C作CD⊥AB， 则CD?asinB?bsinA，因此，
D
ab?。 sinAsinB同理可得
bc? sinBsinC(3)钝角三角形（与在锐角三角形中的证明有何异同）
相同之处:原理相同，转化的思想 不同之处：sinB的表示：
sin?ABC?sin(???CBD)?sin?CBD?CD a（总结观察—类比—猜想—证明;分类讨论；转化的思想）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即
abc?? sinAsinBsinC练习： 在△ABC中，已知A=45°,C=120°,c=10，解三角形.
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