内容发布更新时间 : 2024/5/22 23:48:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解： 因I'(x)?则

lnxlnx2所以函数I(x)在区间[e,e]上单增，??0,x?[e,e2]，22x?2x?1(x?1)2e2e2lntlntImax(x)?I(e)??2dt??dtet?2t?1e(t?1)2e2e21lnte21???lntd???e?et(t?1)dtet?1t?1

lnte2e2?????ln|t?1|?ln|t|eet?112e2?1e??2?ln?lne?ln(e?1)?e?1e?1e?1e?17. 求定积分I?解：I??1?1(2x?|x|?1)2dx。

21?1?1?1(2x?|x|?1)dx??(5x2?4x|x|?4x?2|x|?1)dx

10?10??2?(5x2?2x?1)dx??x3?2x2?2x?0?3?1?22 3???x?a?2?2x8. 已知lim????a4xedx，求常数a的值。

x??x?a??x??2a?2a???lim?1?解： 左边?lim?1????x??x??x?a??x?a????xx?a2x????2axx?a?e?2a

右边????a?2xde2?2x??2xe?e?2a2?2x??a|??4xe?2xdx

a??

所以有e9. 计算

?2a?2x????2x2e?2x|??|a?e?2x|??a?2xea(2a?2a?1)2

?e?2a(2a2?2a?1)?a?0或a??1。 xe?xdx

(1?e?x)2?A??0AAxe?x1xA1dx?xd??解： ?0?01?e?x1?e?x?01?e?xdx 0(1?e?x)2xAxA??ln(1?e)001?e?x AAe??ln(1?eA)?ln2A1?e??Axe?xxe?xdx dx?lim?所以 ?0(1?e?x)2A???0(1?e?x)2 21

?AeA?A?lim??ln(1?e)?ln2?A???1?eA???Ae?e?lim?A?A??limln?ln2?ln2AA???!?eA???1?e??AA

10. 计算I????1dx。 1?x3?xe?e解： I????11?x??edxdx??2?2?21?x???e??earctane|?e 11?x3?x2(1?x)?14e?e1?e

四、证明题

1．假设函数f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且f'(x)?0。记

F(x)?证明在(a,b)内F'(x)?0。

1xf(t)dt ?ax?a证明：由f(x)在[a,b]上连续以及微积分基本定理，知F(x)在(a,b)内可导，且有

f(x)1F'(x)??x?a(x?a)2??xaf(t)dt1?1x?f(x)?f(t)dt ???ax?a?x?a?1?[f(x)?f(?)],??(a,x]?(a,b]x?a又因f'(x)?0，则在(a,b)内f(x)单调递减，所以有f(x)?f(?)，??(a,x]?(a,b]，而x?a?0，所以

F'(x)?0,x?(a,b)?(a,b]

2. 设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件f(1)?2?120xf(x)dx。试证：存在??(0,1)，使

f(?)??f'(?)?0

证明：令F(x)?xf(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上可微（也连续），且

,??[0,1F(1)?f(1)?2?xf(x)dx?2?f(?)?12]?[0,1] 2??f(?)?F(?)012因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0,即f(?)??f'(?)?0

3. 设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)?k试证：存在??(0,1)，使

?1k0。xe1?xf(x)dx（k?1）

f'(?)?(1???1)f(?)

证明：令F(x)?xe1?xf(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

1k1??F(1)?f(1)?k?xe1?xf(x)dx?k?e1??f(?)?1f(?)?F(?) k??e0其中??[0,1k]?[0,1]。因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0

即 e

1??f(?)??e1??f(?)??e1??f'(?)?0，f'(?)?(1???1)f(?)。

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4. 设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足

f(1)?3?e1?xf(x)dx。

0132试证：存在??(0,1)，使得f'(?)?2?f(?)。 证明：令F(x)?e1?x2f(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

132221??F(1)?f(1)?3?e1?xf(x)dx?3e1??f(?)?1f(?)?F(?) 3?e0其中??[0,13]?[0,1]。因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0

即 ?2?ef'(?)?0，f'(?)?2?f(?)。

1b5. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且f(x)dx?f(b)。试证：至少存在

b?a?a一点??(a,b)，使f'(?)?0。

证明：由f(x)在[a,b]上连续和积分中值定理，有

1b1f(x)dx??f(?)(b?a)?f(?)?f(b)，??[a,b] ?ab?ab?a因此，在区间[?,b]?[a,b]上据罗尔定理有，存在??(?,b)?(a,b)，使

f'(?)?0

6. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点??[a,b]，使

1??2f(?)??e1??2?大值M和最小值m，即

baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab证明：因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0，由最值定理，知f(x)在[a,b]上有最

m?f(x)?M

故 mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x)

?bbamg(x)dx??f(x)g(x)dx??Mg(x)dx

aabbm??f(x)g(x)dxab?bag(x)dx?M

b由介值定理知，存在??[a,b]，使

f(?)??f(x)g(x)dxa?bag(x)dx，即?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aab7. 设函数f(x)在[0,??)上连续单调不减且非负。试证函数

x??1tnf(t)dtx?0 x?F(x)??0?x?0?0在[0,??)上连续单调不减（其中n?0）。 证明：（1）先证F(x)的连续性。当x?0时，由f(x)的连续性可知F(x)连续；又因

x?0nnlim?F(x)?lim?1tf(t)dt?limxf(x)?0?f(0)?0?F(0) x??x?00x?0x可见F(x)在x?0处右连续。所以F(x)在[0,??)上连续。 （2）再证F(x)在[0,??)上单调不减。。当x?0时，

F'(x)??x12?tnf(t)dt?xn?1f(x)?xn?1[f(x)?f(?)]，??[0,x]

0x因f(x)在[0,??)上单调不减，所以f(x)?f(?)?0，??[0,x]，所以

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F'(x)?xn?1[f(x)?f(?)]?0

所以F(x)在[0,??)上单调不减。

8. 设函数f(x)在(??,??)内连续，且F(x)??(x?2t)f(t)dt，试证：

0x （1）若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数； （2）若f(x)为单调不增，则F(x)单调不减。 证明：（1）因为f(x)为偶函数，所以有f(?x)?f(x)，则

F(?x)??(?x?2t)f(t)dtt??u?(?x?2u)f(?u)(?du)

0?xx0 ?因此F(x)是偶函数。 （2）因为

?(x?2u)f(u)du?F(x)

0xxxxF'(x)??x?f(t)dt?2?tf(t)dt??xf(x)??f(t)dt?2xf(x)??00?0?'

??f(t)dt?xf(x)?xf(?)?xf(x)?x[f(?)?f(x)],??[0,x]0x又f(x)为单调不增，则f(?)?f(x)?0,??[0,x]，而x?0，所以

F'(x)?x[f(?)?f(x)]?0

则F(x)单调不减。

9. 设f(x),g(x)在区间[?a,a]（a?0）上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件

f(?x)?f(x)?A（A为常数）

（1）证明

?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；

0a （2）利用（1）的结论计算定积分证明：（1）而

???/2?/2|sinx|arctanexdx。

a0?a?af(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx

?a0aaa00aa0?0则

?aaf(x)g(x)dxx??t?f(?t)g(?t)(?dt)??f(?t)g(t)dt??f(?x)g(x)dx

??af(x)g(x)dx??f(?x)g(x)dx??f(x)g(x)dx

??0a00[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?f(x)g(x)dx

0xa（2）取g(x)?|sinx|为偶函数，f(x)?arctane，因为

[f(x)?f(?x)]'?[arctanex?arctane?x]'?0

?f(x)?f(?x)?A（A为常数） 特别地，取x?0，有

f(x)?f(?x)?A?2f(0)?2arctan1??2

由（1），得

2210. 假设函数f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，且f'(x)?0。记

1xF(x)?f(t)dt ?ax?a证明在(a,b)内F'(x)?0。

证明：由f(x)在[a,b]上连续以及微积分基本定理，知F(x)在(a,b)内可导，且有

?/20???/2|sinx|arctanexdx??2??/2sinxdx???/2cosx|??0?

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f(x)1F'(x)??x?a(x?a)2??xaf(t)dt1?1x?f(x)?f(t)dt ???ax?a?x?a?1?[f(x)?f(?)],??(a,x]?(a,b]x?a又因f'(x)?0，则在(a,b)内f(x)单调递减，所以有f(x)?f(?)，??(a,x]?(a,b]，而x?a?0，所以

F'(x)?0,x?(a,b)?(a,b]

11. 设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件f(1)?2使f(?)??f'(?)?0。

证明：令F(x)?xf(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上可微（也连续），且

,??[0,1F(1)?f(1)?2?xf(x)dx?2?f(?)?12]?[0,1] 2??f(?)?F(?)012?120xf(x)dx。试证：存在??(0,1)，

因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0,即f(?)??f'(?)?0

12. 设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)?k试证：存在??(0,1)，使

?1k0。xe1?xf(x)dx（k?1）

f'(?)?(1???1)f(?)

证明：令F(x)?xe1?xf(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

1k1??F(1)?f(1)?k?xe1?xf(x)dx?k?e1??f(?)?1f(?)?F(?) k??e0其中??[0,1k]?[0,1]。因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0

f(?)??e1??f(?)??e1??f'(?)?0，f'(?)?(1???1)f(?)。

13. 设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足

即 e1??f(1)?3?e1?xf(x)dx。

0132试证：存在??(0,1)，使得f'(?)?2?f(?)。 证明：令F(x)?e1?x2f(x)，则显然F(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

132221??F(1)?f(1)?3?e1?xf(x)dx?3e1??f(?)?1f(?)?F(?) 3?e0其中??[0,13]?[0,1]。因此，在区间[?,1]上据罗尔定理有，存在??(?,1)?(0,1)，使

F'(?)?0

即 ?2?ef'(?)?0，f'(?)?2?f(?)。

1b14. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且f(x)dx?f(b)。试证：至少存

b?a?a在一点??(a,b)，使f'(?)?0。

证明： 由f(x)在[a,b]上连续和积分中值定理，有

1b1f(x)dx??f(?)(b?a)?f(?)?f(b)，??[a,b] ?ab?ab?a因此，在区间[?,b]?[a,b]上据罗尔定理有，存在??(?,b)?(a,b)，使

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1??2f(?)??e1??2

f'(?)?0

15. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点??[a,b]，使

?大值M和最小值m，即

baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab证明：因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0，由最值定理，知f(x)在[a,b]上有最

m?f(x)?M

故 mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x)

?bbamg(x)dx??f(x)g(x)dx??Mg(x)dx

aabbm??f(x)g(x)dxab?bag(x)dx?M

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab由介值定理知，存在??[a,b]，使

f(?)??f(x)g(x)dxa?bag(x)dx，即

?ba

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