内容发布更新时间 : 2025/1/5 22:43:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

f'(?)?0

15. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点??[a,b]，使

?大值M和最小值m，即

baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab证明：因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0，由最值定理，知f(x)在[a,b]上有最

m?f(x)?M

故 mg(x)?f(x)g(x)?Mg(x)

?bbamg(x)dx??f(x)g(x)dx??Mg(x)dx

aabbm??f(x)g(x)dxab?bag(x)dx?M

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab由介值定理知，存在??[a,b]，使

f(?)??f(x)g(x)dxa?bag(x)dx，即

?ba

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