内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:33:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十六章 多元函数的极限与连续

第一节 平面点集与多元函数

1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域，并分别指出它们的聚点与界点： (1)[a,b)×[c,d)； (2){(x,y)|xy≠0}； (3){(x,y)|xy=0}； (4){(x,y)|y>x2}；

(5){(x,y)|x<2,y<2,x+y>2}；

(6){(x,y)|x2+y2=1或y=0,0≤x≤1} (7){(x,y)|x2+y2≤1或y=0,1≤x≤2} (8){(x,y)|x,y均为整数}；

1

(9){(x,y)|y=sinx ,x>0}. 2、试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ,0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ,(x,y)≠(a,b)}是否相同？

3、证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}?E ，Pn≠P0,limPn=P0时，P0

x是E的聚点.

4、证明：闭域必为闭集.举例说明反之.不真.

5、证明：点列{Pn(xn,yn)}收敛于P0(x0,y0)的充要条件是limxn=x0和limyn=y0.

xx6、求下列各函数的函数值：

arctan(x+y)1+3 1-3

（1）f(x,y)=[arctan(x-y) ]2，求f(2 ,2 )；

2xyy

（2）f(x,y)=x2+y2 ，求 f(1,x )；

x

（3）f(x,y)=x2+y2-xytany ，求 f(tx,ty). 7、设F(x,y)=ln xln y,证明：若u>0,v>0,则

F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).

8、求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明是何种点集：

x2+y21

（1）f(x,y)=x2-y2 ； （2）f(x,y)=2x2+3y2 ； （3）f(x,y)=xy ； （4）f(x,y)=1-x2 +y2-1 ； （5）f(x,y)=ln x+ln y； （6）f(x,y)=sin(x2+y2) ； （7）f(x,y)=ln (y-x)； （8）f(x,y)=ez

（9）f(x,y,z)=x2+y2+1 ；

-(x2+y2)

1

(R>r)

x2+y2+z2-r2

9、证明：开集与闭集具有对偶性——若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集. 10、证明：

（1）若F1,F2为闭集，则F1∪F2与F1∩F2都为闭集； （2）若E1,E2为开集，则E1∪E2与E1∩E2都为开集； （3）若F为闭集，E为开集，则F\\E为闭集，E\\F为开集. 11、试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之. 12、证明定理16.4（有限覆盖定理）. （10）f(x,y,z)=R2-x2-y2-z2 +

13、证明：设DìR2，则f在D上无界的充要条件是存在{Pk}ìD，使limf（Pk）

k=￥.