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选修2-2 2.1.2 演绎推理

一、选择题

1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B

[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )

A．大前提错 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案] D

[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.

3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )

A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案] C

[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

114．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝log33

x是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )

A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A

[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的． 5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )

A．① B．② C．③ D．①② [答案] B

[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.

6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )

A．① B．② C．①② D．③ [答案] B

[解析] 易知应为②.故应选B.

7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( ) A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确 [答案] C

[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C. 8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( ) A．正确 B．推理形式正确

C．两个自然数概念不一致 D．两个整数概念不一致 [答案] A

[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A. 9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )

[答案] A

[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为

；

如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为应选A.

．故

10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )

A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理

C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D

[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误． 二、填空题

11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．

[答案] log2x－2≥0

[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a＋b≥2ab，

∴2(a＋b)≥a＋b＋2ab. [答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c

[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a＋b，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

2

2

2

2

2

2

2

2

1

13．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，

4则f(2010)＝________.

1

[答案]

2

[解析] 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①

令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ② 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即f(x－1)＝－f(x＋2)

∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6) ∴f(x)＝f(x＋6) 即f(x)周期为6，

∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)

对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)， 11

∴f(0)＝即f(2010)＝.

22

14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．

[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等 1

[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，

3

1

又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)．

2

因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．

三、解答题

15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C. [证明] 如下图延长AB，DC交于点M.