内容发布更新时间 : 2024/12/25 15:26:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课程编号:07000233 北京理工大学2011-2012学年第二学期
2010级数理统计期末试题A卷
一、设总体XN?0,?2?,X1,X2,???,Xm?n是抽自总体X的简单随机样本,求常数c使
22X12?X2?????Xm得随机变量Y?c?2服从F分布,指出分布的自由度并证明。 22Xm?1?Xm?????X?2m?n二、设总体X2为已知常数,??R为未知参数。X1,X2,???,XnN??,?2?,其中?2??0是抽自总体X的简单随机样本,x1,x2,???,xn为相应的样本观测值。 1.求参数?的矩估计;
2.求参数?和EX的极大似然估计;
21n3.证明X????iXi,其中??i?1和X??Xi都是?的无偏估计;
ni?1i?1i?14.比较两个无偏估计X?和X的有效性并解释结果。
三、设总体X服从泊松分布P???,X1,X2,X3是抽自总体X的简单随机样本,设假设检验问题H0:??3;H1:??nn1的否定域为D?3??X,X,X123?X?0.5?。
1.求该检验问题犯第一类错误的概率;
2.求该检验问题犯第二类错误的概率和在H1下的功效函数。
??32??x?xe,x?0四、设总体X的概率密度函数为f?x,????2,其中??0为未知参数,
?0,x?0?X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本。
1.验证样本分布族是指数族,并写出其自然形式(标准形式); 2.证明T?X???Xi?1ni是充分完全(完备)统计量,并求ET?X?;
1n1X3.利用充分完全统计量法和Cramer-Rao不等式方法证明是?i?的一致最小方差无偏3ni?1估计。
五、设X1,X2,???,Xn是从总体X抽取的简单随机样本,且X的密度函数为
??1????,x?2?2??x,其中??0为未知参数。 f?x,??????0,x?2X1.验证2?ln12?,进而验证2??ln22i?1nXi22?2n;
2.考虑假设检验问题H0:???0;H1:???0,给出该检验问题的检验统计量以及水平为; ??0???1?的检验的否定域(拒绝域)
3.求参数?的一个置信系数为1???0???1?的置信区间。
六、掷一颗骰子60次得到如下结果,试在显著性水平??0.05下检验这颗骰子是否均匀?
1 2 3 4 5 6 点数 次数 27 8 12 11 29 13 2附表:?5?0.05??11.07,?6?0.05??12.59,?7?0.05??14.07
六、此问题为非参数假设检验中的分布拟合问题(书6.4节250页),不在这次考试的范围,以下答案供参考。记X?i,i?1,2,3,4,5,6表示掷出i点,则检验问题为
1H0:P?X?i??,i?1,2,3,4,5,6,由表中数据:
6k07?10???8?10???12?10???11?10???9?10???13?10???10222222
2?2.8?11.07??5?0.05?,因此接受H0,即认为这颗骰子是均匀的。
课程编号:07000233 北京理工大学2012-2013学年第二学期
2011级数理统计期末试题A卷
一、设总体XN?0,32?,X1,X2,X3,X4,X5是抽自总体X的简单随机样本,
1.确定常数a使得随机变量T?a?X1?X2X?X?X232425服从t分布,指出分布的自由度并证明。
2X12?X22.确定常数b使得随机变量F?b?2服从F分布,指出分布的自由度并证明。 22X3?X4?X5二、设总体XP???,其分布列为P?X?x???xx!e??,x?0,1,2,,其中??0为未知
参数,X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本,x1,x2,???,xn为相应的样本观测值。 1.求参数?的矩估计;
2.求参数?和P?X?0?的极大似然估计;
1n3.利用充分完全统计量法和C-R不等式法证明X??Xi是?的一致最小方差无偏估计。
ni?1三、设总体XN??1,?2?,X1,X2,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本,设总体
YN??2,?2?,Y1,Y2,???,Yn是抽自总体Y的简单随机样本,两组样本相互独立,且?2已
12知。为使?1??2的置信系数为95%的置信区间的长度为?,则样本容量n可以取为多少? 四、总体XN??,1?,其中??R为未知参数。X1,X2,,X9是为抽自总体X的简单随
机样本,设假设检验问题H0:??0?H1:??0的否定域为:
D???X,X,12,X9?X?c。
?1.确定常数c,使得该检验犯第一类错误的概率为0.05;
2求该检验的功效函数和犯第二类错误的概率,结果用标准正态分布函数??五、设X1,X2,???,Xn是从总体X中抽取的简单随机样本,X的密度函数为
?表示。
f?x,???2?21xe1?x2?I?x?0?,其中??0为未知参数。
1.验证
2?X?,进而验证
22?X?i?12n2i2?2n;