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初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

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1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

例1．化简

111x2?3x?2 + x2?5x?6 + x2?7x?12

解：原式= 1(x?1)(x?2) + 11(x?2)(x?3) + (x?3)(x?4)

= 111111x?1 - x?2 + x?2 - x?3 + x?3 - x?4 =3(x?1)(x?4)

例2． 已知 x?y?zx?y?z?x?y?z(x?y)(y?z)(z?xz = y = x ，且xyz?0，求分式)xyz的值。

1

?x?y?kz(1)x?yy?zx?z?解：易知： = = =ｋ 则?x?z?ky(2) （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0

zxy?y?z?kx(3)?若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k =-1

33xx2例3．设 2 =1，求 4的值。 22x?mx?1x?mx?1112x2?mx?1x4?m2x2?11222解：显然X?0，由已知 =1 ，则 x + = ｍ + 1 ∴ = ｘ + - ｍ= (x +)-2 –ｍ 22xxxxx1

2m?1=( ｍ +1)-2- ｍ= 2ｍ -1 ∴原式=

22例4．已知多项式3x +ax +3x +1 能被x+1整除，求ａ的值。

3

22解：

2

3x?aX2?13x3?ax2?3x?1

3x3?O?3x

ax2?1ax2?a1?a

1- ａ=0 ∴ ａ=1

例5：设ｎ为正整数，求证

1111?3 + 1?5 + ?? +1(2n?1)(2n?1)＜ 2

证：左边=

112（1 - 3 + 13 - 15 + ?? + 12n?1 - 12n?1）

3