内容发布更新时间 : 2025/1/21 2:23:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）

教学目标：

1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。 教学过程： 一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。 二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 建立数学模型 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 三．典例分析

作答 用导数解决数学问题

例1．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，

汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用Gw，其中，w表示汽油消耗量（单位：L），s表示汽油s行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问

表示每千米平均的汽油消耗量，那么G?题

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系g?f?v?。

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间关系

的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题

wwtg解：因为G???

ssvtgg这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进

vv一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h。

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即例2．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何

f??90?，约为L。

R?r。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁m2?r道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nR?r2?r2?×?r(R?r) f(r)?mmnn（1） 它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。

信息，故磁道数最多可达

（2） 为求f(r)的最大值，计算f?(r)?0。

令f?(r)?0，解得r?R 2当r?RR时，f?(r)?0；当r?时，f?(r)?0． 22R2?R2因此r?时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

mn42例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8?r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm。

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

令

2f??r??0.8?(r2?2r)?0解得r?2（r?0舍去）

当r??0,2?时，f??r??0；当r??2,6?时，f??r??0．

f??r??0它表示f?r?单调递增，即半径越大，利润越高； f??r??0它表示f?r?单调递减，即半径越大，利润越低。

f?2??0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，

当半径r?2时，当半径r?2时，

（1） 半径为2cm时，利润最小，这时

此时利润是负值。

（2） 半径为6cm时，利润最大。

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r?3时，

f?3??0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相

等；当r?3时，利润才为正值

当r??0,2?时，f??r??0，f?r?为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶

子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小。 说明： 四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积1.8m） 5．课本练习 五．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 3优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具 六．布置作业