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机械工程测试技术基础习题解答

第一章 信号的分类与描述

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。

x(t) A … ?T0 ?T02 0 -A T20 T0 … t 图1-4 周期方波信号波形图

解答：在一个周期的表达式为 T0??A (??t?0)??2. x(t)??T? A (0?t?0)??2

积分区间取（-T/2，T/2） cn?1T0An?T0

=j??2T02x(t)e?jn?0tdt=1T0?0?T02?Ae?jn?0tdt+1T0T0?20Ae?jn?0tdt

(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, ?)所以复指数函数形式的傅里叶级数为

? x(t)??n???cnejn?0t??jA???n???1n(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ?。

A?(1?cosn?)?cnI?? (n=0, ?1, ?2, ?3, ?) n???c?0?nR

cn?cnR?cnI22?2A n??1,?3,?,? ??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ??A

φn?arctancnIcnR?π??2??π???2?0??n??1,?3,?5,?n??1,?3,?5,?n?0,?2,?4,?6,?

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

|cn| 2A/π 2A/3π ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π -ω0 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解1Tφn 3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 -3ω0 幅频图

答：

xTμx??T0x(t)dt?1T?Tx0sinωtdt?2x0T2T?2sinωtdt??Tω0cosωt20?xTω?xπ

20

xrms?1T?T0x(t)dt?21T?T0xsinωtdt?20x0T2?T01?cos2ωt2dt?x02

1-3 求指数函数x(t)?Ae解答：

?at(a?0,t?0)的频谱。

X(f)?????x(t)e?j2?ftdt???0Ae?ate?j2?ftdt?Ae?(a?j2?f)t?0?(a?j2?f)?Aa?j2?f?A(a?j2?f)a?(2?f)22

X(f)?ka?(2?f)22

?(f)?arctanImX(f)ReX(f)??arctan2?fa

|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数

图1-25 题1-4图

a)符号函数的频谱

??1x(t)?sgn(t)????1t?0t?0

u(t) 1 t 0 t b)阶跃函数

t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。 x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0t?0

x(t)?sgn(t)?limx1(t)

???0???0X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt???eeat?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j4?fa?(2?f)22

X(f)?FX1(f)??j?sgn(t)??lima?011?f

X(f)??f

????2?(f)???????2f?0 f?0x1(t) 1

|X(f)| φ(f) π/2 0

t

0 -1

x1(t)?e?atf 0 f -π/2 sgn(t)符号函数 符号函数频谱

b)阶跃函数频谱

t?0t?0?1u(t)???0

在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数

u(t)?12?12sgn(t)

U(f)?F?u(t)??F?(f)?2?1?1?2??2F???sgn(t)??12?(f)?1?1?1?1??j??(f)?j???? 2??f?2??f?U(f)?121??f?2

结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还

包含其它频率分量。

|U(f)|

φ(f) π/2 0 -π/2 f

单位阶跃信号频谱

f (1/2) 0

解法2：利用冲激函数 u(t)?????(?)d???t?1?0t?0时t?0时

根据傅里叶变换的积分特性

t111?1?U(f)?F???(?)d????(f)??(0)?(f)???(f)?j? ??????j2?f22??f?1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。

??cosω0tx(t)????0t?Tt?T

x(t) 1

解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)

w(t)为矩形脉冲信号

W(f)?2Tsinc(2?Tf) cos(2?f0t)?12w(t)e1-T 0 T t ?e2j2?f0t?e?j2?f0t?

w(t)

-1 1 所以x(t)?j2?f0t?12w(t)e?j2?f0t根据频移特性和叠加性得： X(f)?12W(f?f0)?12W(f?f0)

-T 0 图1-26 被截断的余弦函数

T t ?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)] 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱

线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。