内容发布更新时间 : 2024/5/16 5:35:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数的整除

数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

例如：15÷3=5;63÷7=9

一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。

如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）;

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并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。

例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1,

那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。

即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。

例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

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③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64;因为100是4与25的倍数;所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64;所以1864能被4整除.但因为2564;所以1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375;因为1000是8与125的倍数;所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375;所以29375能被125整除.但因为8375;所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25;偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5;又因为115;所以11123456789。

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