南京盐城市2017届高三二模数学试卷 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:30:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

=4x3-240x2+3600x. ………………… 10分

当且仅当a=b=60时等号成立. 设f (x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30). 则f ′ (x)=12(x-10)(x-30).

于是当0<x<10时,f ′ (x)>0,所以f (x)在(0,10)上单调递增;

当10<x<30时,f ′ (x)<0,所以f (x)在(10,30)上单调递减.

因此当x=10时,f (x)有最大值f (10)=16000, ……………… 12分 此时a=b=60,x=10.

答:当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16000立方厘米.

……………… 14分

18.(本小题满分16分)

x2y2b24e2解:(1)因为椭圆 +2=1经过点(b,2e),所以+2=1.

8b8b

c2c2b2c2

因为e=2=,所以+2=1.

a882b

2

b28-b

因为a=b+c,所以 +2=1. …………………… 2分

82b

2

2

2

2

整理得 b4-12b2+32=0,解得b2=4或b2=8(舍) .

x2y2

所以椭圆C的方程为+=1. …………………… 4分

84(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为T(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1).

k(x-1),??y=22

联立直线l与椭圆方程 ?xy

+=1,?84?消去y,得 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,

4k2

x1+x2=2, 2k+1

所以 ……………… 6分

2k2-8x1x2=2. 2k+1

???

因为MN∥l,所以直线MN方程为y=kx, kx,??y=22

联立直线MN与椭圆方程?xy

+=1,??848

消去y得 (2k2+1)x2=8,解得x2=2.

2k+1因为MN∥l,所以

AT·BT(1-x1)·(x2-1)

=. …………………… 8分 MN 2(xM-xN)2数学试卷 第 9 页 共 16 页

7

因为 (1-x1)·(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]=2 ,

2k+1

32

(xM-xN)2=4x2=2,

2k+1

2

AT·BT(1-x1)·(x2-1)72k+17所以 ==2·=. ………………… 10分

MN 232(xM-xN)22k+132

(3)在y=k(x-1)中,令x=0,则y=-k,所以P(0,-k),

→→

从而 AP=(-x1,-k-y1), TB=(x2-1,y2).

222→2→

因为 AP=TB,所以-x1=(x2-1),即x1+x2=.…………………… 12分

5555

?由(2)知, ?

????

4k2

x1+x2=2,

2k+1

2k2-8x1x2=2.

2k+1

4k2

x1+x2=2, 2k+1-4k2+216k2-2

由解得 x1=,x=. ……………… 14分

223(2k2+1)23(2k2+1)x1+x2=,

552k2-8-4k2+216k2-22k2-8

因为x1x2=2, 所以 ×=,

2k+13(2k2+1)3(2k2+1) 2k2+117

整理得 50k4-83k2-34=0,解得k2=2或k2=- (舍) .

50

又因为k>0,所以k=2. …………………… 16分 19.(本小题满分16分)

解:(1)当a=e时,f (x)=ex-ex-1.

① h (x)=f (x)-g (x)=ex-2x-1,h′ (x)=ex-2. 由h′ (x)>0得x>ln2,由h′ (x)<0得x<ln2.

所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2,+∞),单调减区间为 (-∞,ln2).

………………… 3分

② f ′ (x)=ex-e.

当x<1时,f′ (x)<0,所以f (x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当x>1时,f′ (x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

1° 当m≤1时,f (x)在(-∞,m]上单调递减,值域为[em-em-1,+∞),

g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m),

因为F(x)的值域为R,所以em-em-1≤(2-e)m, 即em-2m-1≤0. (*)

数学试卷 第 10 页 共 16 页

由①可知当m<0时,h(m)=em-2m-1>h(0)=0,故(*)不成立.

因为h(m)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,1)上单调递增,且h(0)=0,h(1)=e-3<0, 所以当0≤m≤1时,h(m)≤0恒成立,因此0≤m≤1. ………………… 6分 2° 当m>1时,f (x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,m]上单调递增,

所以函数f (x)=ex-ex-1在(-∞,m]上的值域为[f (1),+∞),即[-1,+∞). g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m). 因为F(x)的值域为R,所以-1≤(2-e)m,即1<m≤综合1°,2°可知,实数m的取值范围是[0,(2)f ′ (x)=ex-a.

若a≤0时,f ′ (x)>0,此时f(x)在R上单调递增. 由f(x1)=f(x2)可得x1=x2,与|x1-x2|≥1相矛盾,

所以a>0,且f(x)在(-∞,lna]单调递减,在[lna,+∞)上单调递增.

…………………… 11分 若x1,x2∈(-∞,lna],则由f (x1)=f (x2)可得x1=x2,与|x1-x2|≥1相矛盾, 同样不能有x1,x2∈[lna,+∞).

不妨设0≤x1<x2≤2,则有0≤x1<lna<x2≤2.

因为f(x)在(x1,lna)上单调递减,在(lna,x2)上单调递增,且f (x1)=f (x2), 所以当x1≤x≤x2时,f (x)≤f (x1)=f (x2). 由0≤x1<x2≤2,且|x1-x2|≥1,可得1∈[x1,x2],

故f (1)≤f (x1)=f (x2). …………………… 14分 又f (x)在(-∞,lna]单调递减,且0≤x1<lna,所以f (x1)≤f (0), 所以f (1)≤f (0),同理f (1)≤f (2).

?e-a-1≤0,即?解得e-1≤a≤e2-e-1, 2

?e-a-1≤e-2a-2,

1

. e-2

1

]. ………………… 9分 e-2

所以 e-1≤a≤e2-e. …………………… 16分 20.(本小题满分16分)

解:(1)因为{an}是公差为2的等差数列,

Sn所以an=a1+2(n-1),=a1+n-1, …………………… 2分

na1+2n+a1+2(n+1)

从而 (n+2) cn=-(a1+n-1)=n+2,即cn=1. ……… 4分

2

数学试卷 第 11 页 共 16 页

Sn

(2)由(n+1)bn=an+1-,

n

得n(n+1) bn=nan+1-Sn,

(n+1)(n+2) bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,

两式相减,并化简得an+2-an+1=(n+2) bn+1-nbn. ……………………… 6分 an+1+an+2Sn an+1+an+2

从而 (n+2) cn=-=-[an+1-(n+1) bn]

2n2

==

an+2-an+1

+(n+1) bn 2(n+2) bn+1-nbn

+(n+1) bn

2

1

=(n+2)( bn+bn+1). 2

1

因此cn=( bn+bn+1). ……………………… 9分

21

因为对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,所以λ≤cn=(bn+bn+1)≤λ,

2

故bn=λ,cn=λ. ……………………… 11分 Sn

所以 (n+1)λ=an+1-, ①

n

1Sn(n+2)λ=(an+1+an+2)-, ②

2n1

②-①,得(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ.

2

故an+1-an=2λ (n≥2). ……………………… 14分 S1又2λ=a2-=a2-a1,则an+1-an=2λ (n≥1).

1

所以数列{an}是等差数列. ……………………… 16分

数学试卷 第 12 页 共 16 页