内容发布更新时间 : 2025/3/21 20:01:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题15 椭圆、双曲线、抛物线
x2y2
1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近
ab线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 16934C.－＝1 D.－＝1 91643
x2y2x2y2x2y2
x2y2
2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|
123的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
【答案】A 【解析】由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，如图，
x2y2
∵线段PF1的中点M在y轴上， ∴可设P(3，b)，
32
把P(3，b)代入椭圆＋＝1，得b＝.
1234∴|PF1|＝|PF2|＝37336＋＝，
4233
0＋＝. 42
x2y2
732|PF1|
∴＝＝7.故选A. |PF2|3
2
3．已知F1，F2为双曲线C：x－y＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
2
2
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B 【解析】由余弦定理得 |PF1|＋|PF2|－|F1F2|
cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2|
（|PF1|－|PF2|）＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|
?cos 60°＝
2|PF1|·|PF2|?|PF1|·|PF2|＝4.
2
2
2
2
2
x2y22??6
4．设F1，F2分别是双曲线C：2－2＝1的左、右焦点，点P?，?在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则
ab2??2
双曲线C的离心率等于( )
A.
26
B.2 C.3 D. 22
5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆
43在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝( )
275
A. B. C. D．2 333
【答案】B 【解析】由椭圆的方程可得a＝4，b＝3，∴c＝a－b＝1，故椭圆的右焦点F2为(1，0)，
2
2
2
2
x2y2
xy??＋＝1，p2
即抛物线C的焦点为(1，0)，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y＝4x，联立?43
2
??y2＝4x.
22
x＝，?x＝，??3?3解得?或?
2626y＝y＝－，??3??3
22
?226?
∵P为第一象限的点，∴P?，?，
?33?
2557
∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B.
3333
x2y22
6．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一
ab条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．23 B．25 C．43 D．45
7．抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．33 C．43 D．8
【答案】C 【解析】∵y＝4x，∴F(1，0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为3的直线l1：y＝3(x－112
1)，与y＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3，23)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×23＝43.故选C.
32
8．已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|＝
2
2
2
2|FB|，则k＝( )
12222
A. B. C. D. 3333
【答案】B 【解析】设A，B的纵坐标分别为y1，y2， 由|FA|＝2|FB|得y1＝2y2(如图)．
3