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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第一章 概率论基本概念 第 1 页 共 8 页
第一章 概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。
2．随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点: ⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。
3．样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用?表示，并称???为样本点。 4．随机事件 设?是随机试验E的样本空间，而F(?)?AA是?的某些子集，且满足: ⑴.??F(?)；
⑵.?A?F(?),有A???A?F(?)； ⑶.?Ak?F(?),k?1,2,...,有
1?k??????Ak?F(?)。
则称F(?)是随机试验E的事件域，而称A?F(?)为随机事件。 注:设A为随机事件，则
⑴.A发生??包含于A中的任一样本点?发生； ⑵.必然事件即样本空间?，而不可能事件即空集?。
5．随机事件的运算关系 设A,B,Ak,k?1,2,...,n为随机事件，则
⑴．事件的包含关系:A?B??事件A发生时一定会导致事件B发生?????A,有??B； ⑵．事件的相等关系:A?B??A?B且B?A????A当且仅当??B；
⑶．事件的和运算:A?B????A或??B??A?B发生当且仅当A,B中至少发生其一，
??1?k?n?Ak???存在1?k?n,??Ak????Ak发生当且仅当A1,A2,...,An中至少发生其一；
1?k?n⑷．事件的积运算:A?B????A且??B??A?B发生当且仅当A,B同时发生，
??1?k?n?Ak????1?k?n,??Ak????Ak发生当且仅当A1,A2,...,An同时发生；
1?k?n1?k?n 积事件还可将?省略，直接表示为
?Ak?A1A2???An；
⑸．事件的差运算:A?B????A但??B??(A?B)发生当且仅当A发生而B不发生； ⑹．事件的互斥关系:A与B互斥??AB????A与B不能同时发生；
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⑺．事件的对立关系:A与B对立??AB??且A?B??，这时记B?A???A。
若?1?i?j?n，有AiAj??，则称A1,A2,???,An两两互斥，这时，它们的和事件可表为:
1?k?n?Ak??Ak?A1?A2?????An。
1?k?n注:事件的运算关系具有如下性质: ⑴．交换律: A?B?B?A,AB?BA；
⑵．结合律: (A?B)?C?A?(B?C),(AB)C?A(BC)； ⑶．分配律: (1?k?n?Ak)?B??(Ak?B),(?Ak)B??(AkB)；
1?k?n1?k?n1?k?n⑷．德摩根律: (A1?A2?????An)?A1A2???An,(A1A2???An)?A1?A2?????An。 二、随机事件的频率与概率
1．随机事件的频率 设在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，则称wn(A)?次试验中事件A发生的频率。事件的频率具有如下性质: ⑴．非负性: ?A?F(?)，有0?wn(A)?1； ⑵．规范性: wn(?)?0,wn(?)?1；
⑶．单调性: 若A?B，则wn(B?A)?wn(B)?wn(A)?0； ⑷．可加性: 若A1,A2,???,An两两互斥，则wn(A1?A2?????Am)?1?k?mm为这n n?wn(Ak)；
⑸．稳定性: 当n???时，wn(A)?mn将稳定到某一确定的值P(A)，称这个数P(A)为事件A在
一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。 2．概率的公理化定义 设?是随机试验E的样本空间，而F(?)?AA是?的某些子集随机试验
??E的事件域，P(A)是定义于事件域F(?)上实值函数，且满足以下条件:
⑴．非负性: ?A?F(?)，有0?P(A)?1； ⑵．规范性: P(?)?1；
⑶．可列可加性: 对任意可列无穷多个两两互斥的事件A有P(1,A2,...An,...， 则称P(A)为事件A?F(?)的概率。事件的概率有如下性质: ⑴.不可能事件的概率为零，即P(?)?0；
⑵.有限可加性:若A1,A2,...,An是两两互斥的事件，则P(1?k?n1?k??? ?Ak)??P(Ak)。
1?k????Ak)??P(Ak)；
1?k?n⑶.单调性:若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)?0； ⑷.对立事件的概率:P(A)?1?P(A)；
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⑸.加法公式:对任意n个事件A1,A2,???,An?F(?)，有:
P(A1?A2?????An)??P(Ai)??P(AiAj)?1?i?n1?i?j?n1?i?j?k?n?P(AiAjAk)?????(?1)nP(A1A2???An).
三、概率的计算
1．古典概率 设随机试验E的样本空间?具有如下特点:
⑴．????1,?2,...,?n?是有限集合，即只包含n(有限)个互异的样本点； ⑵．试验中每个样本点?k发生的可能性都相同(k?1,2,...,n)；
则称其为古典概率模型，此时，如果事件A包含的样本点数为m?A，则事件A的概率应为:
P(A)?mn?A?。
2．几何概率 设随机试验E的样本空间?具有如下特点:
⑴．?是无限集合，但其测度m(?)(长度、面积、体积等)有限，即0?m(?)???； ⑵．任一事件A发生的概率与其测度m(A)成正比；
则称其为几何概率模型，事件A的概率应为P(A)?m(A)m(?)。
3．条件概率 设A,B为两个事件，则规定在事件A发生的条件下事件B发生的概率为:
()若,PA(?)0??P(AB)PA P(BA)??。
若P(A)?0??0,条件概率也满足概率的性质:
⑴．非负性: ?B?F(?)，有0?P(BA)?1； ⑵．规范性: P(?A)?1；
⑶．可列可加性: 若B1,B2,...,Bn,...两两互斥，则P(4．概率论基本公式
1?k????BkA)??P(BkA)。
1?k???n?2个事件，则 ⑴．乘法公式:设A1,A2,...,An为
P(A1A2???An)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)???P(AnA1A2???An?1)。
⑵．全概率公式与Bayes公式:设A1,A2,...,An两两互斥，且B?A1?A2?????An，则 P(B)?1?k?nAkP)B(Ak，且)P(AkB)??P(1?i?nP(Ak)P(BAk),1?k?n。
?P(Ai)P(BAi)5．事件的独立性:设A1,A2,...,An为n?2个事件，且其中任意k个事件的积事件之概率都等于这k个事件的概率之乘积(k?2,3,...,n)，则称A1,A2,...,An相互独立。
【定理】设A1,k?1,2,...,n，则 1,A2,...,An相互独立，Bk??kAk?(1??k)Ak,?k?0或
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⑴．A1,A2,...,An两两独立，且P(A1A2???An)?P(A1)P(A2)???P(An)； ⑵．B1,B2,...,Bn相互独立，且P(B1B2???Bn)?1?k?n???k?(1?2?k)P(Ak)?；
1?k?n⑶．P(A1?A2?????An)?1?P(A1A2???An)?1???1?P(Ak)?。
【第一章作业】
一、单项选择题
1、在下列四个条件中，能使P(A?B)?P(A)?P(B)一定成立的是(D)
A．A?B； B．A与B独立； C．A与B互斥； D．B?A。 2、设随机事件A,B互斥，且P(A)?P(B)?0，则(D)
A．P(A)?1?P(B)； B．P(AB)?P(A)P(B)； C．P(A?B)?1； D．P(A?B)?P(A)?P(B)。 3、设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(AB)?1，则必有(A)
A．P(A?B)?P(A)； B．P(AB)?P(A)P(B)； C．P(A)?P(B)； D．P(AB)?P(A)。 4、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒中投信的概率为(B) A．12； B．14； C．34； D．1。
5、某人向一目标连续射击，直到命中目标为止，每次命中的概率为34，则射击次数为3的概率为(B) A．(34)； B．34； C．34； D．14。 二、填空题
1、将一枚均匀的硬币抛掷3次，观察正、反面出现的情况，则此随机试验的样本空间为:
33233,HH,THT,HTH,HH,TT,THT,TTH ???HHH TTT?；
2、设A,B,C为随机事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件: ⑴．A,B,C中至少发生一个:A?B?C；
⑵．A,B,C中至多发生一个:ABC?ABC?ABC?ABC； ⑶．A,B发生而C不发生:ABC。
3、设A,B为随机事件，且P(A)?0.6,P(B)?0.7，则P(AB)的最大值为0.6，最小值为0.3；
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