内容发布更新时间 : 2025/3/5 4:31:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

故答案为：10，50．

23．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AD=2，AC=，求AB的长．

【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论； （2）连接CE，由勾股定理得到CD=根据勾股定理得到CE=

=

=

，根据切割线定理得到CD2=AD?DE，

，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．

【解答】解：（1）相切，连接OC， ∵C为的中点， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠ACO， ∴∠2=∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

（2）方法1：连接CE， ∵AD=2，AC=， ∵∠ADC=90°， ∴CD=

=

，

∵CD是⊙O的切线， ∴CD2=AD?DE， ∴DE=1， ∴CE=

=

，

∵C为的中点， ∴BC=CE=，

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴AB==3．

方法2：∵∠DCA=∠B， 易得△ADC∽△ACB， ∴

=

，

∴AB=3．

24．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；两点间的距离．

【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标． 【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中， 得：

，解得：

，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，

把点点B（3，0）代入y=kx+3中， 得：0=3k+3，解得：k=﹣1， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为x=2，

∴点（1，0）在抛物线的图象上， ∴1＜m＜3．

∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为． （3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）． 当m=时，点N的坐标为（，）， ∴PB=BN=

==

，PN=．

，

+，

△PBN为等腰三角形分三种情况： ①当PB=PN时，即解得：n=，

此时点P的坐标为（2，）； ②当PB=BN时，即解得：n=±

，

）或（2，

=）；

，

=

，

=

，

此时点P的坐标为（2，﹣③当PN=BN时，即解得：n=

，

此时点P的坐标为（2，）或（2，）．

综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点的坐标为（2，）、（2，﹣

）、（2，

）、（2，

）或（2，

）．

25．现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 OM=ON ； （2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论． 【解答】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON； （2）仍成立．

证明：如图2，连接AC、BD，则

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45° ∵∠MON=90° ∴∠BOM=∠CON

在△BOM和△CON中

∴△BOM≌△CON（ASA） ∴OM=ON

（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90° 又∵∠C=90°

∴∠EOF=90°=∠MON ∴∠MOE=∠NOF

在△MOE和△NOF中

∴△MOE≌△NOF（AAS）

∴OE=OF

又∵OE⊥BC，OF⊥CD ∴点O在∠C的平分线上

∴O在移动过程中可形成线段AC

（4）O在移动过程中可形成直线AC．