内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:22:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

高县中学 吴伦红

在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：

(1)已知：抛物线的方程为斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为

2y?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾

y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得： 224k2x2?(4pk?8p)x?12pk222?0 ，且k?tan?

p?2p，

?k2x1x2?2设A,B两点的坐标为(1,xy),(x,y) 则：x?x21p422

k当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角

p，斜率为k，而焦点坐标为(0,)，故AB的方程为(k?tan?),),(,)yyx11x222y?p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2x2?2pkx?p2?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p2，

弦长为：|AB|?1?k(x1?x2)22?4x1x2?2p(cos?)2??0,cos??1,|AB|?2p，即为通径。

而

y2??2px与（1）的结果一样，x??2py与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式

2不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：

（3）已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B两点，且弦AB

与抛物线的对称轴的夹角为?，求弦AB的长。

解：由题意可设直线AB的方程为

y?k(x?2p?)(??)将其代入抛物线方程整理得： 224k2x2?(4pk?8p)x?pk22?0 ，

若倾斜角?若倾斜角????2，则???,k?tan??tan?；

?2,则?????,k?tan??tan(???)。

设A,B两点的坐标为(1,2xy),(x,y)

122则：

x?x12p?2p，?k2x1x2?p42

k而sin??sin?,sin(???)?sin?，故|AB|?2p(sin?)2；

当?而

?2?2时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。

y??2px与（3）的结果一样

同理：（4）已知：抛物线的方程为

x22?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB

与抛物线的对称轴的夹角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(则kx,y),(x,y)，若倾斜角为?，斜率为k，

112p?tan?，而焦点坐标为(0,)，

2p故AB的方程为y??kx，将其代入抛物线的方程整理得：

2x2?2pkx?p2?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p2，

弦长为：|AB|?1?k2(x1?x2)?4x1x2???22p(cos?)2

当倾斜角?当倾斜角????2，则????,cos??cos(??)?sin?； 22?2,则??2p2???,cos??cos(??)??sin? 22?所以|AB|?(sin?)恒成立。

当?而

?2?2时，sin??1，|AB|=2p.即为通径。

x??2py与（4）的结果一样。

2p故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为?，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即|AB|?(sin?)2。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，

没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使

用。