内容发布更新时间 : 2024/5/18 12:53:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课题08 绝对值、绝对值不等式

一、问题概述

二、知识梳理 新知1 绝对值的概念

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．

例如，—2到原点的距离等于2，所以?2?2．这一定义说明了绝对值的几何定义，?a,a?0?从这一定义中很容易得到绝对值的求法：a??0,a?0．

??a,a?0?新知2 零点分段法去绝对值

对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：

①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 新知3 绝对值不等式

到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式． 三、释疑拓展

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A．±2 B．2 C．-2 D．4 解：A

【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）

A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3 解：C

【例3】已知：abc≠0，且M＝abc ??，当a，b，c取不同值时，M有____种不同可能．abc当a、b、c都是正数时，M＝ ______； 当a、b、c中有一个负数时，则M＝ ________； 1

当a、b、c中有2个负数时，则M= ________； 当a、b、c都是负数时，M=__________ ．

解：3；1，?1，?3．

【随堂练习】已知a，，bc是非零整数，且a?b?c?0，求

abcabc的值 ???abcabc解：由于a?b?c?0，且a，，bc是非零整数，则a，，bc一正二负或一负二正，

（1）当a，，bc一正二负时，不妨设a?0，b?0，c?0，原式?1?1?1?1?0； （2）当a，，bc一负二正时，不妨设a?0，b?0，c?0，原式??1?1?1?1?0． 原式＝0． 【例4】若

a?4??b?2，则a＋b＝ ．

解：a?4??b?2?a?4?b?2?0?a?4,b??2，所以a＋b＝2． 结论：绝对值具有非负性，即若a?b?c?0，则必有a?0，b?0，c?0． 【随堂练习】?a?1??b?2?0，a＝________；b＝_________． 解：a＝—1，b＝2． 【随堂练习2】：若m?3?n?7?22p?1?0，则p＋2n＋3m＝ ． 227113解：由题意，m??3,n?,p?，所以p＋2n?3m?m??7?9??．

2222【例5】阅读下列材料并解决相关问题：

?x?x?0??我们知道x??0?x?0?，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化

???x?x?0?简代数式x?1?x?2时，可令x?1?0和x?2?0，分别求得x??1，x?2（称?1，2分别为x?1与x?2的零点值），在有理数范围内，零点值x??1和x?2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：

（1）当x??1时，原式???x?1???x?2???2x?1 （2）当?1?x?2时，原式?x?1??x?2??3 （3）当x≥2时，原式?x?1?x?2?2x?1

??2x?1?x??1??综上讨论，原式??3??1?x?2?

??2x?1?x?2?通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

2

（1）别求出x?2和x?4的零点值

解：令x?2?0，解得x??2，所以x??2是x?2的零点；

令x?4?0，解得x?4，所以x?4是x?4的零点． （2）化简代数式x?2?x?4

解：（1）当x??2时，原式???x?2???x?4???2x?2；

（2）当?2?x?4时，原式??x?2???x?4??6； （3）当x≥4时，原式?x?2?x?4?2x?2．

??2x?2?x??2??综上讨论，原式??6??2?x?4?．

??2x?2?x?4?（3）化简代数式y?x?1?2x?2

解：当x?1时，y?5?3x；

当1?x?2时，y?3?x； 当x?2时，y?3x?5． ?5?3x?x?1??综上讨论，原式??3?x?1?x?2?．

??3x?5?x?2?【例6】解下列方程：

（1）x?2?x?1?3； （2）x?2?x?1?5 （3）x?3?x?1?4； （4）x?3?x?2?4

解：（1）等式左边式子x?2?x?1的几何意义是，实数x到?2和1的距离之和，而?2和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x位于?2和1之间时，x到?2和1的距离之和就刚好为3，所以x的取值范围是?2?x?1．

（2）等式左边式子的几何意义是，实数x到?2和1的距离之和，由于?2和1的距离是3，所以x一定在?2和1的两边，经过计算，可知当x位于?3和2时，满足条件．

（3）等式左边式子的几何意义是，实数x到?3和1的距离之差，由于?3和1的距离刚好是4，所以当x位于?3到1的两边时，x到?3和1的距离之差刚好为4，x的取值范围是x??3或x?1．

（4）等式左边式子的几何意义是，实数x到?3和2的距离之差，由于?3和1的距离

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