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数学试卷

第二十二章《一元二次方程》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

1、相关概念

（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次

数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2

（2）一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，

2

其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 （3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．

一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程

整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程

*（4）有理方程 高次方程：

分式方程

2、降次——解一元二次方程

（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为1；

④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，

2

从而原方程化为（mx+n）=p的形式；

⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。 （2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

2

其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b－4ac≥0时，?

?b?b2?4ac2

将a、b、c代入求根公式x=（b-4ac≥0）就得到方程的根．

2a数学试卷

（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为0；

②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式

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（1）⊿＝b－4ac叫一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：

①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：

①不解方程，判别方程根的情况；

②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；

注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2，

2

那么x1?x2??bc,x1x2? aa（2）应用：

①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；

③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于x1,x2的对称式的值，通常利用到：

2x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2

(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2

|x1?x2|??x1?x2?2?4x1x2?? |a|当x1?x2=0且x1x2≤0，两根互为相反数；

数学试卷

当⊿≥0且x1x2=1，两根互为倒数。

（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）

2

⑩用公式法因式分解二次三项式ax+bx+c(a≠0)：

ax+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中x1,x2是方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。

2

2

5、实际问题与一元二次方程

传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。

三、典型例题辨析

1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-|m|

5=0 x2、当m 时,关于x的方程(m+2)x+3mx+1=0是一元二次方程. 3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 4、根据下列表格的对应值： x ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。 5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．

7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．

8、已知2和?1是关于x的方程2x2?mx?n?0的两个根，则m的值为 ，n的值为 .

9、已知方程的两根为，则的值为 。

10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人． 11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．

12、解下列方程：

⑴ x?4x?6?0 ⑵ 2x?3?7x ⑶

13、若关于x的一元二次方程ax?2x?6?0有两个实数根，求a的取值范围.

14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。

22212x?2x?1?0 ⑷ 3x?x?2??5?x?2? 2数学试卷

15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0 （1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.

16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B?两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，?几秒后△PCQ?的面积为Rt△ACB面积的一半．

AP CQB

www.czsx.com.cn17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、?二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）

18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?

19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，?为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，?如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元） 20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，?紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）?从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 作业：必做：P23：1-10 选做：P24：11、12 教 学 反 思