内容发布更新时间 : 2024/6/2 4:58:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．

（1）当m=1时，求点A、B、M坐标；

（2）如图（1）的条件下，若P为抛物线上一个动点，以AP为斜边的等腰直角的直角顶点Q在对称轴上，（A、P、Q按顺时针方向排列），求P点坐标．

（3）如图2，若一次函数y=kx+b过B点且与抛物线只有一个公共点，平移直线y=kx+b，使其过抛物线的顶点M，与抛物线另一个交点为D，与x轴交于F点，当m变化时，求证：DF：MF是定值．

【分析】（1）解方程x2﹣2x﹣3=0可得A（﹣1，0），B（3，0）；把抛物线解析式配成顶点式可得到M点坐标；

（2）抛物线的对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于N，设P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a）作PH⊥直线x=1于点H，如图，证明△PQH≌△QAN得到QH=AN，PH=QN，则t2﹣2t﹣3﹣a=2，1﹣t=a，于是可求出t1=3，t2=﹣2，从而得到P点坐标；

（3）利用y=（x﹣m）2﹣4m2得到M（m，﹣4m2），再解方程x2﹣2mx﹣3m2=0得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得到直线y=kx+b的解析式表示为y=kx﹣3mk，接着利用方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的实数解得到△=（2m+k）2﹣4（﹣3m2+3mk）=0，所以k=4m，于是可设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，然后把M（m，﹣4m2）代入得﹣4m2=﹣4m2+n，解得n=﹣8m2，于是得到经过点D的

直线解析式为y=4mx﹣8m2，再求出F（2m，0），通过解方程组

得

D（5m，12m2），作DG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，如图2，利用平行线分线段成比例定理可得到

=

=3．

【解答】（1）解：当m=1时，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0）； ∵y=（x﹣1）2﹣4， ∴M点坐标为（1，﹣4）；

（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于N，设P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a）

作PH⊥直线x=1于点H，如图， ∵△APQ为等腰直角三角形， ∴PQ=AQ，∠AQP=90°，

∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°， ∴∠PQH=∠QAN， 在△PQH和△QAN中

，

∴△PQH≌△QAN， ∴QH=AN，PH=QN，

即t2﹣2t﹣3﹣a=2，1﹣t=a， ∴t2﹣2t﹣3﹣（1﹣t）=2，

整理得t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2， ∴P点坐标为（3，0）或（﹣2，5）；

（3）证明：y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣m）2﹣4m2，则M（m，﹣4m2）， 当y=0时，x2﹣2mx﹣3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则B（3m，0）， 把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=﹣3mk，

则直线y=kx+b的解析式表示为y=kx﹣3mk， ∵一次函数y=kx﹣3mk与抛物线只有一个公共点， ∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的实数解， 方程整理为x2﹣（2m+k）x﹣3m2+3mk=0， ∵△=（2m+k）2﹣4（﹣3m2+3mk）=0， ∴k=4m，

∴一次函数y=kx+b表示为y=4mx﹣12m2， 设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，

把M（m，﹣4m2）代入得﹣4m2=﹣4m2+n，解得n=﹣8m2， 即经过点D的直线解析式为y=4mx﹣8m2，

当y=0时，4mx﹣8m2=0，解得x=2m，则F（2m，0） 解方程组

得

或

，则D（5m，12m2）

作DG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，如图2， ∵EF∥MG， ∴

=

=

=3．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函