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论文题目：偏微分方程的来源与发展 课程：数学物理方程 姓名：卢江 学号：162210012 专业：轮机工程

偏微分方程的来源与发展

摘要：“数学物理方程”是以物理、工程技术和其它科学中出现的偏微分方程为主要研究对象，并且主要介绍求偏微分方程精确解方法的一门数学基础课程。本文简单介绍了偏微分方程发展的来源、发展历程及特点、解决问题的方法，给出了偏微分方程的发展趋势。

关键词：偏微分方程；模型； 发展阶段； 历程。 一、偏微分方程问题的来源以及模型的建立

偏微分方程由起初研究直接来源于物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支，它内容庞杂，方法多样。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题，而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来，该领域的研究工作，特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究起到了极大的推动作用，十分活跃。

用数学方法处理应用问题时，首先是要建立合理的数学模型。在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题需要用多个变量的函数来描述。这样建立的数学模型在很多情况下是偏微分方程。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量; 速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量; 物体在一点上的张力状态的量叫做张量。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。

物质总是在时间和空间中运动着的。虽然物质的运动形式千差万别，然而却具有共同的量的变化规律。客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映就是变量的概念。事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的，反映在数学上，就是变量之间的关系，从而又形成了函数的概念。由于大量的实际问题中，稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数，却容易建立变量及其导数 ( 或微分) 间的关系式，即微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含

一个自变量，这个方程叫做常微分方程; 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。因此微分方程分为常微分方程和偏微分方程。因为自然现象中可能含有一个变量，更可能含有多个变量。由于自然现象往往是由多种因素决定的，描写这类现象的状态函数一般是多变量的，所以，自然现象的数学模型用得最多的是偏微分方程。大学的《偏微分方程》课程讲的正是这方面的内容。问题在于怎样从数学模型的角度去认识它，如何把它作为解决具体问题的技术手段。

自然界中的各种必然过程，比如物理、力学和工程技术中所抽象出来的那些物理量的状态和相互关系，一般地可以建立三类典型的偏微分方程，即双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。在《偏微分方程》或《数学物理方程》中，它们又分别被称为波动方程 ( 或振动方程) 、热传导方程、位势方程( 或拉普拉斯方程和泊松方程) 。

如果客体是属于各种波动现象或振动现象，诸如电磁波的波动过程，水波、声波等各种机械波的波动过程，弦的振动过程等，都可以用双曲型偏微分方程来表示。因为这类客体的量变规律具有共性，它们在适当条件下都可以抽象成理想化的状态，双曲型偏微分方程恰好提供了在理想化状态下处理该类客体中各种量之间相互依存及发展变化的模式。如果说“双曲型偏微分方程”这一名称典型的刻画了纯数学中数量关系和空间形式的特征的话，那么“波动方程”( 或“振动方程”) 这一名词则形象地反映了客体的质与量的特征，它更倾向于应用数学，所以它不是出现在纯数学中，而是成为《数学物理方程》中的术语。

同理，客体若是自然界中各种输运现象，诸如热传导过程、分子扩散过程等，都可以用抛物型偏微分方程。《数学物理方程》中热传导方程正是从该类客体共有的已知科学规律出发，运用现成的纯数学工具而建立的数学模型。

如果自然界中各种稳定的物理现象，诸如稳定的温度分布、浓度分布、静电场、无旋稳定恒电流场等与时间无关的自然现象，那么就可以建立位势方程( 拉普拉斯方程和泊松方程) 这样的数学模型，这正是纯数学中椭圆型偏微分方程进入稳定的物理现象的桥梁。

自然界是一个特大的系统，必然现象不过是其中的一个子系统。而波动现象、