内容发布更新时间 : 2024/12/26 9:03:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤
A1 2BDC(AB+
EAC)
小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
例2、中线一倍辅助线作法
AA△ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD，
BDCBD 方式2：间接倍长
C连接BE
EA ACF⊥AD于F， 方式3：作延长MD到N， MB 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， DCBF连接BE 连接CD N
例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE
BDCAE例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
DCEFABEDC 作业：
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
2、已知：如图，证：CT=BE.
3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
（二）截长补短法
教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.
已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF， 在Rt△ADE与Rt△CDF中，
ADEBEFCDAAB于M，AT平分 A BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求
D ABC中，C=90?，CM
M B E T C ADB图1-1
C?DE?DF ?AD?CD?∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
B图
1-2
FC又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°.
例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2
在△FCE与△BCE中，
?CF?CB???FCE??BCE ?CE?CE?∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中，
DA4E321FCB图2-2
??FDE??ADE? ?DE?DE??3??4?∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， ∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.
例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：∠BAP+∠BCP=180°.
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2
∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD， 在Rt△BPE与Rt△BPD中，
APN?PE?PD ?BP?BP?∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即
B12DC图3-1
EAPNDC=BE-AB=AE.
在Rt△APE与Rt△CPD中,
?PE?PD???PEA??PDC ?AE?DC?∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°
例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
B12DAC图3-2
12BDC图4-1